Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
^ (х) = С, Jv (а х) + С2 Yv (а х), (38)
где Q и С2 - произвольные постоянные, Jv(ax) и Yv(ax) - функции Бесселя соответственно первого и второго родов. Из формулы (38) при С2 = 0 получим ограниченные при х —> 0 решения
У (х) = С, Jv(ax).
Удовлетворяя эту функцию второму граничному условию
Jv{al) = 0, (39)
найдем собственные значения задачи (36) и (37) как нули функции Бесселя. Как известно [3, с.526], функция Jv(z) при v>-l имеет лишь счетное множество
действительных нулей. Обозначим через avn - п - й корень уравнения (39).
Тогда A.vn=al„> и = 1,2,..., будут собственными значениями, а соответствующие функции
Уп (*)=Л„(л/^*)
- собственными функциями краевой задачи (36) и (37).
§ 12. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Рассмотрим нормальную систему линейных дифференциальных уравнений
у[ = ап{х)ух+аи{х)у2 + ... + аХп(х)уп + Ьх(х), у'2=а2х(х)ух+а22{х)у2 + ... +а2п(х)уп +Ь2(х),
*
, Уп = ап\(х)ух+ап2(х)у2 + - + апп(х)уп+Ьп{х), которую можно написать в виде
у', (х) = S ау 00 У j (х) + К(х), i = 1, и, (1)
7=1
где функции йу(Х), 6;(х) определены и непрерывны на сегменте [от, /3].
Вводя матрицу А(х) = (а^(х)), г,у' = 1,и, систему (1) можно записать в векторно-матричной форме
у'(х) = Л(х)у + Ь(х), (2)
где
ГУ\(,х) Л 'Ъх{х) '
у(х) = У2(х) , Ь(х) = Ь2(х)
Mxh AW ,
В п. 2 §3 было доказано, что решение у(х) = (ух(х), у2(х),..., у„(х)) системы (2), удовлетворяющее начальному условию
jPOo) = jV (3)
или по координатам
>;iOo) = >;i(0). >;2Ю = >;20). Уп(.Х0) = Уп)<
где jc0 6 (a, ft), у0 = (у1°\ у2°\ ¦ ¦¦, >^0)) - постоянный вектор, существует и единственно на [а, /?]. Как и в случае линейного уравнения и-го порядка для системы (1) или (2) справедливо утверждение : любое решение системы (2) может быть построено в явном виде, если известно п линейно независимых решений соответствующей однородной системы
У\х) = А{х)у{х). (4)
1. Однородная система линейных дифференциальных уравнений Теорема 1. Если у,(х) = 0,(1), у(2\ ..., у(х)), у2(х) = 0,(2), у<2),..., у<2}) ,
ут(х) = (у{т), у(2т>,..., У(„т)) являются на промежутке <а, р > решениями однородной системы (4), то их линейная комбинация
т
У (*) = С\У\ (*) + сгУ2 (*) + ... + стут (х) = X ckyk (т) ,
k=1
где ск, к = 1, т , - произвольные постоянные, также является на <а, р > решением однородной системы (4).
Доказательство. Пусть _у,-(лг), i = \,m, являются решениями системы
(4), т.е. при любом х е<а, р >: A (x)yi (jc) = у-(х) . Тогда для х е<а, р> имеем
т т
А(х)у(х) = А(х)^ ckyk(x)=X А(х)ск ук(х) =
к=1 к=1
т т
= Х скА(х)Ук(х) = 'Е скУ'к(х) = У'(х) ¦
к=1 к=1
Пусть на промежутке <а, р> задана система п частных решений
й =0i(1)0), у(2](х), ..., yi'Hx)),
_ y2 = (у}2>(х), у(22)(хХ у’пЧ^), (5)
Уп=Ын\х),у1а)(х), - О))
однородной системы (4). Определитель вида
У? у!2) ... У?>
W(x) = JV[y1(x), у2(х),..., Я(*)] = УУ у<2) ... У?
Л0) ^2) - У(пп)
называется определителем Вронского системы частных решений
однородной системы (4). Как видим, столбцы определителя Вронского состоят из координат частных решений (5).
Теорема 2. Для того чтобы система решений (5) линейной однородной системы (4) была линейно независимой на <а, р > необходимо и
достаточно, чтобы определитель Вронского W[ у2(х),..., уп(х)\ф О
при всех х е< а, /? >.
Доказательство аналогично доказательству леммы 4 § 6.
Определение 1. Система из п линейно независимых на <a,j3>
частных решений у,(х), i = \,n, однородной системы (4) называется
фундаментальной.
Теорема 3. Для всякой линейной однородной системы (4) существует фундаментальная система решений.
Доказательство. Пусть дана линейная однородная система (4) с
непрерывными на [от,/?] коэффициентами. Возьмем точку х = х0e(a,j3) и
рассмотрим определитель
1 0 0 ... О
О 1 0 ... О
