Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
= -'1Ух+У2-.
dy2 __
(29)
dx
= -2ух-5у2.
Решение. Ищем решение системы (29) в виде
Ух =7Хекх, У2=У2екх.
Подставляя их в (29), получим систему
\(к + 1)ух — у2=0,
¦ [2у1+(к + 5)у2 = 0
для нахождения коэффициентов ух и у2. Условие разрешимости системы (30) дает характеристическое уравнение
= к2 +\2к + 37 = 0.
(30)
к + 1 -1 2 к + 5
Корни его равны : кх = - 6 + г, к2 =- 6-г. Подставляя кх —— 6 + г в систему
(30), имеем
(l + i)yx~y2=0, 2ух +(-l + i)y2 = 0, из которых одно является следствием другого. Тогда в качестве ух и у2 можно взять :
rm=km=lt rw=km=l + it
и первое частное решение имеет вид
ym=ei-*+«‘)х1 +
Аналогично, подставляя корень к2 = - 6-г, найдем второе частное решение
у (2)= е(-б-0 л _ у (2)= (1 _ g(-6-0 ,
Из этих комплексных решений выделим две системы вещественных решений :
V (1)+ V (2)
~ (i)_ У i + У i 2
V (1)- V (2)
~ (2)_ У i У i У i
Отсюда имеем
0)_
-6*
у \—е cos х , у
2 i
(2)____
1=1,2.
у2)=е 6j:(cos Jt-sin х) , у(2)=е 6*(cos х + sin х). Тогда общее решение системы (29) определяется по формулам :
jVj(x) = c}y c2 у j2)= e 6jc(Cj cos x+c2 sin x) ,
y2 (x) = с, у (2n+ c2 у (22)= e”6jc [(c, + c2) cos л: + (c2 - c,) sin x].
Замечание 2. Полученные n частных решений (27) системы (19) являются линейно независимыми (это можно доказать, рассуждая методом от
противного). Поэтому yi(x), i=l, и, определяемые равенствами (28),
определяют общее решение системы (19).
Случай 2. Пусть среди корней характеристического уравнения (26)
имеются кратные. Для определенности допустим, что число кх является т-кратным корнем характеристического уравнения (26). Тогда производная т -го порядка от А (к) в точке к = к] \ Д(т) (&,) Ф 0 . Отсюда следует, что среди миноров порядка п-т определителя A(?j) по крайней мере один отличен от нуля. Следовательно, ранг г матрицы М (кх) удовлетворяет неравенству г>п-т, и система линейных алгебраических уравнений (25) при к = к} сводится к г независимым уравнениям. Из теории линейных уравнений известно, что в этом случае в общем решении системы (25) п - г неизвестных
остаются произвольными. Пусть это будут /,=с,, у2=с2, ..., уп_г=сп_/, остальные г неизвестных будут определяться как линейная комбинация относительно с,, с2, ..., сп_г в виде
Yj = 4?>ci + Щ)сг + - + ЛТГ)сп-г¦ j = п-г + \, ... ,п.
Тогда получим систему решений, зависящую от п-r произвольных постоянных
С\ ’ С2.. Сп-г ¦
y:=Clek‘x, у2=с2ек‘х, ..., y„_r=cn_reklX,
У„-г+1 = (Л („-r+ici + Л l-r+ic2 +¦¦¦ +^ (Ц-г!]Сп_г)ек'х,
Ул=(Л(л\+А(л2)с2+- + Л<Г)с„_г)ек'х.
Таким образом, одному корню кг кратности т соответствует п-г<т
частных решений >>,(х), которые получаем, полагая с( =1 для i = \,n — r, а
остальные с. равными нулю (т.е. с. = 0 при j Ф i) в виде :
„(1) _ „(1) _ Л !,(') - П i/1) - 2 (') .. (1)_ з(1)^М
У\ ~e ’У 2 ~U> У n-r У„-г+1 - Л n-r+fi ’-,У„-Лпе »
„(2) _ Л (2) _ k,x (2) _ n (2) _ j, (2) k,x (2) _ 0(2) hx
у, ”, y2 e , yn_r U, у n_r+l Л n_r+1e ,...,yn — \ s ,
v(n-r) Q (n-r) 0 (n-r) k,x (n-r)_ 2 (n-r) k,x (n-r) 2 (n-r) k^x
У1 У 2 ••• > У n-r e ’У n-r+l~ Л n-r+i^ > J У n Лп e •
Если составим матрицу из коэффициентов при ек'х в правых частях равенств системы (31)
1 О О ... О А(1) , ... Лт
V ... v n_r+l ••• 'V п
О 1 о
о я(„2_>+1 ... я
(2)
0 0-0 ... 1
о (п-г) ^ п-г+1
2 (»-'•)
у ~ ~ ~ ... * И-Г+1 ли у
то ясно, что ее ранг равен п-г, т.е. между строками системы (31) нет линейной зависимости. Следовательно, мы построили п-г линейно независимых решений, соответствующих корню кх.
Если п — г = т, т.е. г = п — т, то полученное число решений равно кратности т корня кх, значит, получены все решения, соответствующие корню кх (при т = 1 ранг г = п-т = п-1, n — r = 1, и мы имеем случай 1 простого корня кх, которому соответствует одно решение системы).
