Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 140

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 283 >> Следующая

у(х) =
p(a)W (а)
У2(х) 1/(0Ух(0^ + Ух(х) \f(t)y2(t)dt
или
GfcO------------!_{*<*>*«¦ aS^'’ (27,
p(a)W(a) [^(x)^), t <x<b.
Функция G(x, t) называется функцией Грина или функцией источника (влияния) краевой задачи (17) и (18).
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 2. Если Л = 0 не является собственным значением однородной краевой задачи, т.е. однородная краевая задача имеет только нулевое решение, то существует единственное решение краевой задачи (17) и (18) при любой функции /(х) из С[а, Ь], и оно выражается формулой (26).
Из способа построения функции Грина вытекают следующие ее свойства: 1°. Функция G(x,t) непрерывна на замкнутом квадрате
D = {(x,?)|a < x,t < b} и принадлежит классу С2 на замкнутых треугольниках :
a < х <t < b, a <t < х < b.
2°. Функция Грина симметрична
G (x, t) = G (t, x), (x, t)e D.
3°. Первая производная G'x(x, t) имеет разрыв первого рода на диагонали х = t, при этом величина скачка равна
8G(t+0,t) _ ЭС(г-0,0=-----------1_ т
дх дх p(t)
или
dG(x, х+ 0) dG(x,x-0) _ 1
Эх Эх ,р(Х)
Для доказательства достаточно вычислить левую часть соотношений (28) и (28,), исходя из (27), и воспользоваться тождеством (21).
4°. Функция Грина на боковых сторонах квадрата D удовлетворяет граничным условиям :
or, G(a, t) - Д G' (a, t) = 0, a2 G(b, t) + /32 G'x(b, t) = 0, a<t <b.
В самом деле, если x = a, то x<t и исходя из соотношений (27) и (19) имеем
or, G (a, t) - Д G; (a, t) =-/fa Я («) - А У («)] = 0 •
p(a)W (a)
Если же x = b , то x > t и, рассуждая аналогично, получим
a2 G Оъ, 0 + Л G; Оь, 0 =----->2 ,У2 (6) + Д ^ (Л)] = 0.
p{a)W{a)
5°. Функция Г рина как функция от х вне диагонали x = t удовлетворяет однородному уравнению
L(G(x, t)) = 0, (х, t)eD\{x = t}.
Действительно, если х < t, то
a<x<b. (28i)
L(G(x,t)) = - yf‘l L(y, (x)) = 0, p(d)W(d)
L(G(x, 1)) =-----—Цу,М) = 0.
P (a) W (a)
Замечания. 4. Часто функцию Грина определяют на основании фундаментального решения линейного однородного уравнения L(y) = 0. Под фундаментальным решением линейного однородного уравнения L(y) = 0 понимают функцию, определенную в замкнутом квадрате D и обладающую свойствами 1°, 3°, 5° функции G(x,t). Тогда функцией Грина называется фундаментальное решение уравнения L(y)-0, удовлетворяющее однородным граничным условиям (18), т.е. выполнено свойство 4°. Если
оператор L является самосопряженным, т.е. L* = L (в нашем случае L является таковым), то для функции Грина выполнено свойство 4° симметрии.
Функция Грина в обощенном смысле удовлетворяет уравнению LG(x,t) = S(x-t), a<x<b, где S(x-t) - дельта-функция Дирака. Под S(x-t) понимают возмущение, порождаемое точечным источником интенсивности 1, приложенным в точке x = t. Сказанное следует понимать в том смысле, что S(x-t) есть предел последовательности «колоколообразных» непрерывных неотрицательных функций Sn(x-t) , сосредоточенных в окрестности точки t и стремящихся при и —» + оо к нулю всюду, кроме t, но так, что
ь
jSn (х -1) dx = 1.
а
Тогда для любой непрерывной на {а,Ь] функции f(x) существует предел
ь ь
lim \Sn (х - t)f(x)dx = \8п (х - t)f(x)dx = f(t). (*)
Л—>+oo J J
a a
Символ S(x-t) лишь с большой натяжкой можно признать функцией. Физики, пытаясь это сделать, определяют S(x-t) как функцию, которая равна нулю всюду, кроме точки t, где она равна бесконечности оо (символ оо является пределом Sn(t,t) при я—»+оо). Это «определение» расходится со строгим определением функции и, кроме того, оно не обеспечивает равенство (*), так как интеграл в правой части (*) лишен смысла. Тем не менее равенство (*) определяет символ S(x — t) как функционал, сопоставляющий каждой непрерывной функции f(x) число f(t), т.е. ее значение в точке x = t. Дельтафункция Дирака является примером обобщенной функции. Теория обобщенных функций изучается в курсе уравнений математической физики (см. [3, гл. II, III ] из списка литературы по гл. 5).
5. При решении краевой задачи (17) и (18) мы предполагали, что соответствующая однородная краевая задача имеет только нулевое решение. Если это условие нарушено, т.е. однородная краевая задача имеет ненулевые линейно независимые решения фх(х) и ф2(х) (число линейно независимых решений не более двух, так как порядок уравнения (17) равен двум), то для однозначной разрешимости неоднородной задачи (17) и (18) должны выполняться условия ортогональности правой части /(х) обеим собственным функциям
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed