Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Пусть уt(x)—решение уравнения (6.1), определенное для всех х? [х0, с»),Потребуем, чтобы существовала пара положительных вещественных чисел rji, г\2, таких, что, каково бы ни было решение у2(х) уравнения (6.1), удовлетворяющее условию
(6.4), это решение тоже было определено для всех х?[х0, оо).
Требование Г гарантирует, что значения У\{х), у2(х) определены для всех значений х~^ хо, если решения уи у2 достаточно близки друг к другу в начальной точке х=х0, и это дает возможность сформулировать следующее важное определение устойчивости решения yi(x):
2°. Пусть для произвольного е > 0 найдется б > 0, такое, что 6<min(rib Л2) и при выполнении условия l\yi(xo)—y2(x0)\l <6, II#/(*о)—У2'(хо) II < б для всех х?[хо, оо) справедливы неравенства Цг/i (л:) — г/2 (х) ||<е, ||г// (л:) — у2 (л:) ||<е. Решение у\ {х), удовлетворяющее требованиям 1° и 2°, называют устойчивым (в смысле Ляпунова) *.
Упражнение
Докажите, что всякое решение У\(х), устойчивое по отношению к начальным значениям у\{хо), у\(Хо), устойчиво также н по отношению к начальным значениям yi(xo'), у{'(х0') при любом Xq > xQ.
Вполне очевидно, что условие устойчивости 2° говорит о непрерывной зависимости значений функции у(х) от начальных значений у(хо), у'(х0). взятых в достаточно малой окрестности устойчивого решения, при у{хй)^-у\{х0), у'(х0)-+у\(ха).
Что касается асимптотической устойчивости, то ее определение строится следующим образом:
3°. Пусть условия 1°, 2° выполняются и б > 0 — величина, указанная в условии 2°. Решение У\(х) называется асимптотически устойчивым, если существует такое б'> 0, б'^б, что из деравенств
II У\ К) - у2 К) 1<8'. II у; (-«о) - Уг К) 1 <8'
вытекают соотношения limlly, (х) — y2(x)|| = lim|y'1(x)—У2(а:)|=0-
Х-+сс11 л»-со
Часто встречается такой случай, когда решение не является устойчивым или асимптотически устойчивым по отношению ко всем близким решениям, но может рассматриваться как устой-
! Определение устойчивости или асимптотической устойчивости по^Дапу-нову иногда формулируют для нулевого решения у(х) = 0 рассматриваемого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, от} носительно которых предполагается, что они обладают таким тривиальные решением Это связано с тем, что состояние механической системы, находящейся в равновесии, как раз описывается при определенных условиях нулевым решением составленного соответствующим образом дифференциального урав-
нения или системы таких уравнений (см гл 10), и от устойчивости этого нулевого решения зависит, будет ли система возвращаться в положение равно-
весия после достаточно малого возмущения Имеется большое число хороших
математических книг, в которых рассматривается понятие устойчивости по Ляпунову и различные его модификации (см, например, [53, 54])
чивое или асимптотически устойчивое, если взять для сравнения не все близкие решения, а лишь определенный их класс. Такого рода ограниченная устойчивость называется условной устойчивостью. Здесь имеется некоторое сходство с ситуацией, имеющей место в вариационном исчислении (разд. 2.7), о которой мы уже говорили: может случиться, что изучаемая задача о минимизации не имеет решения, если рассматривать вариации самой общей природы, но если обратиться к ограниченному соответствующим образом классу вариаций, то при этих дополнительных условиях задача допускает решение.
Упражнение
Возьмем дифференциальное уравнение второго порядка у" = 0, общее решение которого имеет вид у = ах+Ь. Устойчивы ли какие-либо решения этого уравнения? Имеет ли это уравнение асимптотически устойчивые решения? Пусть теперь дано определенное решение у = аох+Ьо. Ограничимся классом лишь таких близких решений, у которых а = ай¦ Будет ли некоторое заданное решение этого типа условно устойчиво по отношению к решениям этого класса? Будет ли оно условно асимптотически устойчивым?
Здесь имеется еще одно обстоятельство, на которое следует обратить внимание. Рассмотрим случай, соответствующий фиг. 17, на котором изображены интегральные кривые дифференциального уравнения (первого порядка) вида у'= 1—у2. Здесь решение у = — 1 ни устойчиво, ни асимптотически устойчиво (оно, как говорят, неустойчиво вправо, т. е. при х-»-+оо), и все решения, близкие к у =—1, для которых уо—у(0) > 1, асимптотически приближаются к другому решению у= + 1, которое асимптотически устойчиво (и сами по себе эти решения тоже являются асимптотически устойчивыми). Такой вид сходимости к устойчивому (или асимптотически устойчивому) решению характерен для широкого класса задач теории устойчивости.
6.4. Устойчивость по отношению к замене переменных
Мы уже знаем, что уравнения Эйлера, относящиеся к какой-нибудь вариационной задаче, можно рассматривать как уравнения движения некоторой механической системы. Что касается уравнений движения, то они должны полностью определять все черты рассматриваемого движения. Кроме того, уравнения движения можно записать по отношению к любой системе обобщенных координат, и получающиеся при этом для разных систем координат уравнения в общем случае отличаются друг от друга. Но все эти уравнения относятся все-таки к одной и той же механической системе, а координаты этой системы в любой системе координат можно записать как непрерывные функции ее координат в другой координатной системе; поэтому естественно было бы ожидать, что имеются некоторые инвариантные свойства, характеризующие все те различные формы уравнений движения, которые можно составить для описания данной механической системы и которые, таким образом, можно найти, применяя к некоторой исходной системе уравнений движения соответствующее преобразование координат или замену переменных. В частности, можно было бы как будто априори допустить, что траектория движения, оказавшаяся устойчивой по отношению к какой-то одной системе уравнений движения, останется устойчивой и при непрерывной замене переменных, т. е. при преобразовании системы координат самого общего вида.
