Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 48

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 87 >> Следующая

Предположим сейчас, что, кроме восстанавливающей силы и силы трения, к осциллятору приложена также внешняя сила G(t), не зависящая от отклонения х, т. е. являющаяся функцией одного лишь времени. Допустим, например, что эта сила имеет колебательный характер: G(t) = G0cosi|^. Тогда уравнение движения осциллятора принимает вид
х + -jjf х + — х — О0 cos . (7.10)
Заметим, что (7.10) при G0 = 0 переходит в (7.7). Уравнение
(7.7) линейно и однородно, в то время как (7.10) —это неоднородное уравнение, так как оно содержит не зависящее от х слагаемое G0 cos Jptf.
Для решения (7.10) можно применить известные теоремы теории линейных дифференциальных уравнений (эти теоремы подробно излагаются во всех курсах дифференциальных уравнений; см., например, [19]), согласно .которым общее решение уравнения (7.10) можно представить в виде суммы его любого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (7.7).
Здесь нам нет необходимости вдаваться в подробности, связанные с решением уравнения (7.10) (см., например, [4]). Достаточно будет отметить, что у него существует такое частное решение g(t), которое соответствует незатухающим колебаниям той же частоты, что и частота вынуждающей силы G(t), но амплитуда и фаза которого в общем случае отличны от амплитуды и фазы G(t). Это частное решение уравнения (7.10), таким образом, следует (по частоте) за колебаниями внешней нагрузки. Если прибавить к этому частному решению общее решение (7.8) уравнения (7.7), то получится общее решение уравнения (7.10). Отсюда можно сделать два вывода о поведении системы': 1) колебания системы содержат составляющую, соответствующую переходному режиму колебаний, которая целиком определяется параметрами самого осциллятора (т. е. параметрами р, k, m). Влияние этой составляющей постепенно становится исчезающе малым ввиду затухания; 2) кроме того, имеется составляющая, соответствующая стационарному режиму колебаний, который в основном определяется характером внешней силы, приложенной к осциллятору. Влияние параметров осциллятора на эту составляющую сказывается лишь в том, что они входят в выражения для амплитуды и фазы колебаний, но частота установившегося режима колебаний от них не зависит. Характерный вид графика решения (7.10) изображен на фиг. 20.
Таким образом, на простом примере гармонического осциллятора мы показали, что свойства линейной системы полностью определяются, если известно, как она ведет себя в переходном и в стационарном режимах. При изучении такого рода систем инженеры часто используют прием, заключающийся в том, что система приводится в такие состояния, в которых независимо друг от друга выявляются ее свойства в обоих этих режимах. Эти
Фиг. 20.
приемы исследования, играющие важную роль в теории, называют соответственно анализом переходных процессов и анализом стационарных процессов (или частотным анализом). Более подробно мы остановимся на этих методах в следующей главе.
Упражнение
1. Предположим, что вынуждающая сила, входящая в уравнение (7.10), имеет вид G(^)=const. Исследуйте режимы колебаний такой системы.
2. Как изменится стационарный режим системы (7.10), если коэффициент р не будет строго положительным? Как связана положительность р с устойчивостью (или асимптотической устойчивостью) этой системы? Как сформулировать ответы на эти два вопроса в виде некоторого общего правила?
7.3. Замкнутые системы
В этом разделе мы лишь кратко упомянем о некоторых важных идеях, которые будут более подробно развиты в следующей главе.
Рассмотренный в предыдущем разделе простой) гармонический осциллятор, колеблющийся в условиях вязкого трения, представляет собой типичный пример так называемой разомкнутой системы. Как было показано, эта система обладает способностью сопротивляться отклонению от положения равнове-
сия. Однако, с точки зрения инженера, такая система далеко не идеальна. Можно, в частности, отметить, что в этом случае время, необходимое для уменьшения амплитуды колебаний до некоторой заданной величины, зависит от амплитуды и коэффициента р (который здесь является постоянным); чем больше амплитуда, тем больше указанный интервал времени.
Представим себе теперь такой осциллятор, 'у которого коэффициент трения р не постоянен, а является некоторой монотонно возрастающей функцией отклонения х. В этом случае при увеличении отклонения сила сопротивления, вызванная трением, тоже будет возрастать, и этот эффект проявится тем сильнее, чем быстрее растет р с ростом х. Интуитивно представляется очевидным, что такая сила сопротивления будет оказывать на колебания тормозящее действие, и если подобрать соответствующим образом функцию р(х), то можно добиться того, чтобы амплитуда колебаний за сколь угодно малый промежуток времени уменьшилась до любой заданной величины.
Когда функция р(х) выбирается так, что затухание начинает зависеть описанным выше образом от отклонения, то тем самым в систему вводится так называемая обратная связь (точнее, отрицательная обратная связь). В этом случае простая разомкнутая система, рассмотренная выше, переходит в замкнутую систему, и в результате ее эффективность как средства управления и регулирования значительно увеличивается (надо также отметить, что при этом уравнение движения (7.7) этой системы становится нелинейным) *.
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed