Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы придать нашим рассуждениям конкретность, рассмотрим в качестве примера механическую систему, движущуюся по некоторой траектории в пространстве состояний этой системы (т. е. пространстве, точки которого характеризуют состояния данной системы). Эта траектория является
1 Подробное изложение теории устойчивости и ссылки на обширную математическую литературу можно найти у Беллмана [50] или у Чезари [51] Более общий подход, имеющий прямое отношение к гл. 10 этой книги, развит в книге Немыдкого и Степанова [52].
стационарной кривой уравнения Эйлера, соответствующего некоторой оценочной функции, или функционалу (связанному с функцией Лагранжа для данной системы). Что означает утверждение, что рассматриваемое движение устойчиво? Интуитивно вполне очевидно, что представление об устойчивости связано с тем, каким образом система отзывается на возмущения (малые), приложенные к системе извне. Пусть к системе прилагается понимаемое в этом смысле возмущение (т. е. в некоторый момент времени ее положение претерпевает малое смещение, а затем система предоставляется самой себе). Спрашивается, что можно сказать о характере движения системы, получившей такое возмущение?
Интуитивно опять-таки вполне очевидно, что рассматриваемое движение системы следует считать устойчивым, если выполняются одно (первое) или оба следующих условия: 1) траектория возмущенного движения все время остается в некотором определенном смысле близкой к невозмущенной траектории, 2) с течением времени возмущенная траектория сколь угодно близко приближается к невозмущенной. В математике первое условие обычно называют условием устойчивости (по Ляпунову), а если выполняются оба требования, то говорят об асимптотической устойчивости (по Ляпунову). Асимптотическая устойчивость наиболее часто представляет интерес для приложений, например в технике. Грубо говоря, она означает, что, если к системе приложить малое кратковременное возмущение, когда она находится в состоянии равновесия, то со временем система вернется к этому состоянию. В последующих главах мы увидим, что понятие асимптотической устойчивости играет центральную роль при изучении гомеостаза биологических систем. Теперь перейдем к четкой формулировке этих понятий.
Мы ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений второго порядка, так как нам здесь приходится иметь дело именно с такими уравнениями; соответствующие обобщения на уравнения произвольного порядка проводятся непосредственно, и мы предлагаем читателю сделать это самостоятельно. Допустим, что нам дано дифференциальное уравнение вида
у" = / (х> У, У')- (°-Ч
Решения этого уравнения можно записать в виде
у(х) = у(х, а, р), (6.2)
где а, р — произвольные постоянные. Как правило, нас интересует, разумеется, некоторое определенное решение. Для того чтобы выделить такое решение, нужно указать соответствующие
значения параметров а, р, а для этого обычно задаются так называемые начальные значения; иными словами, задача состоит в том, чтобы выделить такое решение, для которого у и у' принимают при некотором начальном значении независимой переменной х=х0 заданные значения у(х0), у'(х0). Выражение (6.2) можно, в частности, переписать в виде
у(х)=у(х, у(х0), у'(х0)). • (6.3)
Итак, решения (6.1) образуют двухпараметрическое семейство кривых на (х, у)-плоскости.
Пусть zi, г2—две точки на прямой линии или на плоскости (х, у); условимся обозначать расстояние между этими точками через \\z\— z2\\.
Как мы уже выяснили, понятие устойчивости связано с сопоставлением близких друг к другу решений дифференциального уравнения (6.1). Но что именно следует здесь понимать .под «близкими» решениями? Поскольку каждое решение уравнения
(6.1) определяется заданием значений параметров у(хо), у'(х0), входящих в (6.3), можно было бы, например, считать в определенном смысле близким (в начальный момент) два решения У\{х), у2(х), для которых при некотором заданном начальном значении х=хо выполняются соотношения
II У! (*«,) - У2 (*«,) II <1 У! (*о) - У2 К) II < Ъ > (6.4)
где г]1, т)2 — некоторые предварительно выбранные малые положительные числа. Допустим теперь, что какое-то определение «близости» решений (6.1) уже принято; каким образом мы должны тогда точно определить понятие устойчивости решений
(6.1), интуитивное представление о котором мы выше обсуждали? Здесь прежде всего нужно заметить, что, если рассматриваемое решение у\{х) уравнения (6.1) определено для всех значений х^х0, то нужно потребовать, чтобы все решения (6.1), которые считаются близкими кУ\{х), тоже были определены для всех значений х^ Хо- В самом деле, если бы всегда можно было найти решение, которое в некоторой точке х, лежащей в промежутке от хо до + оо, обращается, например, в бесконечность, то независимо от того, насколько близко это решение подходит в каких-то точках к у\(х), интуитивно ясно, что об устойчивости здесь говорить не приходится. Поэтому введем следующее требование:
