Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Примером гомеостаза в физических системах может служить известный закон Ленца. Этот закон утверждает, что ток, индуцированный в проводнике при изменении пронизывающего его магнитного потока, направлен так, чтобы его магнитное поле противодействовало вызвавшему его изменению.
Свойство систем, находящихся в равновесии, сопротивляться любому изменению внешних условий, которое было нами проиллюстрировано на примерах закона действия масс и закона Ленца, было впервые сформулировано как общее свойство таких систем Лешателье. Рассмотрим теперь подробно третью систему, для которой выполняется принцип Лешателье.
7.2. Пример: гармонический осциллятор
Идеализированной моделью одномерного гармонического осциллятора может служить частица массы т, прикрепленная к пружине и способная перемещаться лишь вверх и вниз. Допустим, что в состоянии равновесия частица находится в начале координат, и ее смещение из положения равновесия определяется единственной переменной координатой х.
По закону Гука, при отклонении пружины от положения равновесия в ней возникает восстанавливающая сила F, направленная против той силы, которая вызвала отклонение, и по величине пропорциональная отклонению; этот закон записывается в виде формулы
F^-kx, (7.2)
где k — положительная постоянная, зависящая только от материала и формы пружины. Таким образом, простой гармонический осциллятор обнаруживает сопротивление любой силе, вызывающей отклонение. По второму закону Ньютона
F = (7.3)
Из (7.3) и (7.2) вытекает дифференциальное уравнение второго порядка, определяющее отклонение х как функцию времени. Общее решение этого уравнения записывается в виде
х = А coso^-j-5sinutf, (7.4)
где А, В — произвольные постоянные, а ©= YЩт — частота возникающего колебательного движения. Если положить для простоты х= 1 при t = 0, то решение примет вид
x = cos u>t. (7.5)
График этого решения изображен на фиг. 18.
Состояние равновесия осциллятора соответствует тривиальному решению х(^)=0 (т. е. случаю, когда в формуле (7.4)
А = 5 = 0). Мы видим, что это решение не является, очевидно,
асимптотически устойчивым, т. е. система, подчиняющаяся лишь уравнениям (7.2), (7.3), никогда не вернется к положению равновесия, если ее отклонить от этого положения. Таким образом, простой гармонический осциллятор непригоден в качестве хорошего регулирующего устройства.
В действительности, однако, никакой реальный гармонический осциллятор не подчиняется в точности закону (7.2). Движение его происходит всегда в среде, обладающей большей или
меньшей вязкостью, и поэтому на движущуюся частицу действует сила трения. Обычно принимают, что эта сила пропорциональна скорости х частицы и направлена опять-таки против движения частицы. Итак, в вязкой среде восстанавливающая сила может быть записана в виде
F = — kx — §x? k, Р>0. (7.6)
Из (7.3) и (7.6) мы получаем уравнение
*+-?-*+ — * = 0. (7.7)
1 m 1 m ' ’
Решение уравнения (7.7) ищется обычно в виде
x=^Celt,
и если предположить, что выполняется условие р2<4 km (условие «малого затухания»), то это приводит к общему решению
(7.7) вида
* -<"“>1 (л cos V±—?r t+ ¦В-*« Vir-?r *) ¦
(7.8)
Вводя опять для простоты условие х=1 при ?=0, находим для этого случая решение
x = (7.9)
Упражнение
Убедитесь в справедливости формулы (7.8).
Упражнение
Исследуйте движение в случае р2> 4 km (условие «сильного затухания»).
- -(P/2т) t
Обратим теперь внимание на то, что множитель е ,
представляющий собой амплитуду колебательного движения, является в данном случае убывающей функцией времени. Такие колебания называются затухающими (точнее, колебаниями с отрицательным затуханием). Чем больше коэффициент трения J3, тем скорее амплитуда этих колебаний приближается к нулю.
Заметим также, что затухание влияет и на частоту возникающих колебаний; при отсутствии затухания угловая частота
1Г k 1Г k р2
равна у —, а при наличии трения она равна у —------------.
Наличие затухания приводит, очевидно, к тому, что тривиальное решение x(t) =0 уравнения (7.7) становится как устойчивым, так и асимптотически устойчивым, причем быстрота, с которой система приближается к своему положению равновесия, определяется величиной затухания. Характерный график затухающих колебаний изображен на фиг. 19.
Мы предполагали, что сила, вызвавшая отклонение системы, была приложена в момент ^ = 0, а затем действие ее прекратилось. Реакция системы на воздействие такого типа описывается так называемой переходной характеристикой. Как будет далее показано, изучение переходных характеристик систем^рдзлич-ного типа играет важную роль в теории систем управлений. Но при исследовании системы важно также знать, как она реагирует на постоянно действующее возмущение. Соответствующую характеристику также удобно рассмотреть на примере гармонического осциллятора.
