Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
= с\ + Cov (Л, 5) = с2а+ гав оа ав. (7)
В итоге получаем
Cov (Y А) °А + rAB аА аВ °А
Это и есть аналитический результат, полученный традиционным методом. Обратившись снова к рис. 14.1, мы увидим, что Y и А соединены двумя путями: один путь (а) прямой, а другой— (b) непрямой. Таким образом, сумма двух соединяющих путей между У и Л равна полной корреляции между Y и Л. Подобно этому, гУв=Ь+аг. Подводя итог, отметим, что на рис. 14.1 представлены все аналитические свойства, которые выводятся из уравнений (1) и (2). Теперь, когда такая эквивалентность установлена, некоторые результаты можно получать прямо из диаграммы.
Рассмотрим уравнение (1) еще раз. Выражение Y=A+B является частным случаем более общего уравнения множественной регрессии. Если мы выразим (1) через «нормированные» переменные (среднее которых равно нулю, а дисперсия—единице), то получим
Y — Y ^ ?л A-А + ?в В —В ^
Оу <Уу аА Чу ав
Т. е.
Y* = aA* г ЬВ*. (9*)
Звездочка указывает на произведенное нормирование: Y*=(Y—
—Y)Jgy и т. д. Коэффициенты путей а=ал/(Уг и Ь = вв1оу — это не что иное, как частные коэффициенты регрессии F* на Л* и ^соответственно. Коэффициент корреляции между Л и В равен ковариации нормированных А* и В*.
г — ГАВ = Е (~=^- j = Е (А* В*) = Cov (Л*, В*) = (10)
Дисперсия У* из (9') равна
1 = а2 + b2 + 2 abr, (5*)
что идентично выражению (5). Следовательно, рис. 14.1 можно также рассматривать как диаграмму зависимости между нормированными переменными с частными коэффициентами регрессии а и Ь. Теория коэффициентов путей представляет собой систематическое развитие я обобщение простой ситуации, описанной в этом параграфе.
§ 2. ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Теперь рассмотрим некоторые чисЛЪвые примеры, чтобы показать сходство и различие между обычным уравнением множественной регрессии и уравнением регрессии для нормированных переменных. В табл. 14.1 и 14.2 представлены два набора данных, для которых требуется найти уравнение регрессии, имеющее вид
У = Ро + М + М- (11)
Нормальными уравнениями, выведенными по методу наименьших квадратов, будут
Р0Л^ + Р1ЕЛ+Р2ЕБ = ЕУ, ро2Л + р1ЕЛ2 + р2ЕЛБ = ЕУЛ, (12)
р02 В + рх2 АВ + р2 2 Я2 = 2 YB.
Числовые значения ЕЛ, 2В, ..., 2УЛ и 2УВ приведены в нижней час-
Таблица 14.1
Представление У в виде линейной комбинации А и В
Y А В
4,36 17 3
3,20 11 5
5,62 18 6
6,26 18 8
4,82 10 11
5,48 9 14
9,10 20 15
9,16 17 18
2F = 48,00 НА = 120 ИВ = 80
Y = 6 1! 3 = 10
СЛ
2F2 = 320 2 А2 = 1928 ИВ2 = 1000
а2у = 4 о2л = 16 а2в = 25
Q II ов=5
II **:
Ю о
SYA = 768,40 2Y3 = 544 ПАВ = 1200
Cov (К, В) = 4,8 Cov (У, В) = 8,0 Cov (А, В) = 0
Wa = 0,60 гув = 0,80 ГАВ = 0
ти табл. 14.1 и 14.2, в которых N=8. Производя подстановки и решая уравнения, мы найдем, что
Pi = 0,30, р2 = 0,32 и ро = Y — А — р2В = — 1,7 (13)
для обоих наборов данных. Таким образом, уравнение множественной регрессии для обоих наборов данных имеет вид
7 = — 1,7 + 0,30 А + 0,32 В,
Г—Г = 0,30 (Л —Л)+ 0,32 (В—В). (14)
Можно сделать вывод, что зависимости между Л, В и У в обоих случаях одинаковы. Они действительно одинаковы в том отношении, что предсказанная величина У одинакова при одних и тех же значениях Л и В. Читатель может убедиться в том, что в каждом случае У= =—1,70+0,ЗОЛ+0,32В. Однако по этому уравнению нельзя судить о зависимости между самими Л и В. Кроме того, относительные величины Pi = 0,30 и Рг=0,32 не служат.мерой относительного вклада Л и В в определение У, так как эти числа даны в произвольных физических единицах, таких, например, как г/см или фунт/дюйм, и будут изменяться с изменением используемых физических единиц.
Изучение данных табл. 14.1 и 14.2 показывает, что в некотором отношении они сильно различаются. В первом наборе данных переменные Л и В не коррелируют, тогда как во втором гдв= -у-. При нормировании по способу (9) уравнение (14) принимает вид
У* = 0,30 Л* + 0,32 'j В*. ' (15)
