Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Y = s-S +b1XJ+b2Y2 + b3X з, (35)
Z = t'T -j-c1X1-j-c2X2-j-c3X3,
где 5 и Т не коррелируют ни друг с другом, ни с причинами X. Поскольку эти уравнения сразу приведены в форме (9) и (9*) (звездочки мы опустили),, коэффициенты s, t, все Ь и все с являются коэффициентами путей. Здесь мы использовали сокращенные обозначения, в более подробной записи эти символы выглядят так:
й] = ЬУ1 = Ьух^ и т. д., Cj = czl = czx^ и т. д. (36)
Так как теперь все переменные нормированы, их среднее равно нулю, а дисперсия — единице. Полная корреляция между двумя следствиями равна тогда
rYZ = Е (YZ) = ? (sS + Ь, X, + Ь2Х2 + b3X3) (tT + с, X, + с2Х2 + с3Х3) =
= Vj + b-Lr:2 с2 + Krvfiz + ViiA + Ьъс2 + V23C3 +
+ Vi3ci + ь3г23с2 + bgCg. (37)
Математические ожидания всех произведений, содержащих 5 или Т, обращаются в нуль. В соответствии с рис. 14.6 это аналитическое выражение означает, что существует девять путей, соединяющих У и Z. Из аналитического результата (37) вытекают правила построения путей для рис. 14.6 и для других диаграмм путей. Например, пути У—Xi— Х3—Z соответствует член bxrx3c3, а пути У—Х3—Хх—Z — член b3rX3C\-y таким образом, звено гхз было использовано дважды: один раз при соединении Х\ с Х3 и другой раз при соединении Х3 с Хх\ соответствующие корреляционные связи имеют по две стрелки. При ri3=0 два члена — Ь\ГХ3с3 и b3rx3cx—не войдут в выражение (37), так как в этом случае связь между Х\ и Х3 отсутствует. Отсюда можно вывести другое важное правило прочтения диаграмм путей. Аналитическое выражение г13=0 означает, что на диаграмме отсутствует путь, соединяющий Х\ и Х3. Поэтому кажущийся путь У—Х\—Х2—Х3—Z, который соответствовал бы члену Ь\ГX2r23С3, запрещен, так как такого члена нет в выражении (37). Таким образом, аналитически из факта существования гХ2 и г2з нельзя сделать вывода о существовании ri3. В переводе на язык правил чтения диаграмм путей это означает, что Г12/23 нельзя использовать в качестве соединяющего пути между Х\ и Х3. Иными словами, при построении диаграмм нельзя использовать два коэффициента корреляции для последовательных звеньев. Когда все три X не коррелируют (ri2 =
= ^23 = ^13 = 0),
Гу2 = bx Cj + b2 с2 + Ь3 с3, (38)
что является прямым обобщением формул (28) и (29).
Положение о том, что полная корреляция между двумя переменными равна сумме всех соединяющих их путей, можно использовать неоднократно и в самом различном виде. Например, три строки выражения (37) имеют и другую форму записи:
Ьх (с, + rl2c2 + = bx г1А = bxrxz,
^2 (Г12 С1 С2 Г23 С3) = ^2 r2Z ~ ^2 rx,,Z’ (^9)
bz (Г13С1 Г23С2 Сз ) = ^3r3Z = ^3 ГХ,Х'
Обратившись еще раз к рис. 14.6, мы видим, что Х\ и Z соединены тремя путями: прямым путем Ci и непрямыми путями гХ2с2 и Г13С3. Сумма
этих трех путей равна rxz или, в более формальной записи, rXiZ, что отряжено в уравнении (39). Подобным образом ri2Ci+C2+/'23C3 = /'2z и т.д. Следовательно, выражение (37) можно представить в сокращенном виде
rYZ ^ ^yi Г\Z ^У2 Г2Z ^УЗ r3Z> (^)
где в соответствии с (36) bY\ = b\— коэффициент пути от X] к У и т.д., а индекс 1 используется как сокращение для Х\ и т. д. Взаимно поменяв У и Z (и оставив прежней величину корреляции), мы получим выражение
к которому можно также придти прямым путем, суммируя члены из трех столбцов (37). В общем виде
Все члены, содержащие 5 в качестве сомножителя, равны нулю, так как
5 не коррелирует ни с одним из X. Сравнивая (43) с (37), мы видим, что, за исключением члена s2, остальные члены (43) те же самые, что и в (37), однако с везде заменены на Ь. Таким образом,
Для того чтобы придать данному выражению симметричный и достаточно общий вид, воспользуемся записью s2—bYsfsY¦ Подобно тому как мы говорили о детерминации дисперсии У, можно сказать, что доля s2 детерминирована некоррелирующей переменной S, а оставшаяся доля 1—s2 детерминирована причинами Х\, Х2, Хз. Далее, Ь2 из (43) представляет собой прямое влияние Хг на У, а 2 bibfu представляет собой совместное действие Хг и Xj. Имея в виду выражение (44), говорят, что bn^iY есть полное действие Х\ на Y, а bY2r2Y есть полное действие Х2 на У и т. д. Как выражение (43), так и выражение (44) дает нам полную детерминацию дисперсии У. Вполне возможно прямое обобщение этих выражений для случая более чем трех причин X.
§ 7. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ СОЕДИНЯЮЩИХ ПУТЕЙ
Этот параграф является дополнительным, так как все правила построения диаграмм путей мы уже рассмотрели, используя аналитические результаты, полученные в предыдущих параграфах. Однако для тех, кто не специализируется по статистике, полезно еще раз сформулировать и подробно изложить эти правила. Без аналитического рассмотрения, проведенного в предыдущих параграфах, они могли бы показаться произвольными; вместе с тем следует иметь в виду, что описанные ниже правила являются просто словесным выражением определенных аналитических результатов.
