Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Если считать А и В двумя следствиями, а С — их общей причиной (рис. 14.5), то по теореме, приведенной в предыдущем параграфе, мы получим,что
ГАВ ~ ГАС Гвс = 00 • (30)
Свойства такой части цепи, как Y=A-\-B, идентичны свойствам зависимости, проиллюстрированной нами на самом первом примере, и задаются выражениями (1) — (5). Свойства части цепи, включающей А
и В в качестве двух следствий, определяемых некоррелирующими причинами S, С я Т, описаны в предыдущем параграфе. Коэффициенты путей, образующих две части цепи, изображенной на рис. 14.5, будут следующими:
(TjI (Jn
Я = — , ь = — , (31)
C7v
rAS > 0 Г AC
С O'л
тг
(Т/’ СТ 7
гвс = —- , t = гвт = —- . (32)
Огэ Ос
Обратите особое внимание на то, что коэффициенты путей в выражении (32) равны коэффициентам корреляции, потому что S, С и Т не
коррелируют, тогда как коэффициенты путей а я b [см. (31)] не равны
коэффициентам корреляции [см. § 1, формулы (7) и (8)], так как А я В коррелируют. Коэффициенты путей а я b равны нормированным коэффициентам регрессии, о чем свидетельствуют выражения (9) и (9*).
Если мы исключаем из рассмотрения промежуточные переменные Л и В (левая диаграмма на рис. 14.5), то тогда можно считать, что У определяется тремя некоррелирующими причинами S, С я Т, как это показано на правой диаграмме рис. 14.5. При таком подходе необходимо оценить влияние С на У. Интересующая нас детерминация дисперсии следствия определяется следующими соотношениями (вспомним, что гАВ=сс'):
Система Детерминация дисперсии
Y = A + B а2 + 62 + Zabcc' — 1
Л = S + С s2 + с2 = 1
? = с + г с'2 + г2= 1
F = S + С + Г 72 +"^2 +12 = 1.
Черта над буквой указывает на то, что при построении прямого пути были опущены промежуточные переменные. По формулам (20) as—s я bt—t. Следовательно,
с2 = 1 — s2 — t2 = а2 + Ь2 + 2abcc' — a2 s2 — b2t2 = а2(\ — s2) - -
+ b2( 1 — t2) + 2abcc’ = a2 с2 ~h b2c'2 -f- 2abcc' = (ac + be')2,
;. с = ac -, be'. (33)
Сопоставляя это выражение с двумя приведенными диаграммам_и (рис. 14.5), мы видим, что влияние С на У, мерой которого является с, разлагается на две компоненты, а именно на C-A-Y я C-B-Y: мерами последних являются соответственно ас я be'. Поскольку S, С и Г не коррелируют, величина с=ас-\-Ьс' также равна коэффициенту корреляции между С и У. Таким образом, полная корреляция между отдаленной причиной и следствием равна сумме величин всех путей, соединяющих данные причину и следствие. Это положение можно распространить на случаи, в которых отдаленная на большое число звеньев цепи причина действует на следствие через любое число промежуточных причин.
Любопытно, что выражение (33), относящееся к центральной части рис. 14.5 (где показано, что А я В влияют на У, подвергаясь в свою очередь влиянию С), аналогично соответствующему выражению дифференциального исчисления. Предположим, что У=У(А, В)—функ-
ция от Л и В, которые являются функциями от С, т. е. А—А (С) и В = В (С). Тогда полная производная У по С равна
dV = дУ_ dA_ , dY_ dB_ dC дА dC дБ dC '
что соответствует выражению (33).
И наконец, корреляция между У и его непосредственной причиной Л (рис. 14.5) аналогична корреляции на диаграмме рис. 14.1 и находится по формуле (8) с учетом уравнения гАВ—сс
гуА = а + сс' ь> (34)
что представляет собой сумму двух путей, соединяющих У и Л.
§ 6. ОБЩАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И ДЕТЕРМИНАЦИЯ
на простых системах, рассмотренных в предыдущих параграфах, мы убедились, что на диаграмме можно опустить любые отдаленные причины, заменив их коэффициентом корреляции между двумя пере-
Рис. 14.6. Общая схема корреляции между двумя следствиями (У и Z), испытывающими влияние коррелирующих причин (Хь %2, Х3).
У и Z соединены девятью путями, что отражено в уравнении (37). Более отдаленные причины учтены в корреляциях между причинами X.
менными, испытывающими влияние этих отдаленных общих причин. Такие случаи действительно встречаются на практике: в любом конкретном исследовании мы никогда не сможем учесть всех причин, так как большинство из них нам неизвестны. Таким образом, рис. 14.6 можно считать довольно общей диаграммой для корреляции между двумя следствиями У и Z. Промежуточные общие причины обозначены через Xi, Х2, Х3, причем в принципе можно ввести в рассмотрение любое число причин. Отдаленные причины, предшествующие этим X, на диаграмме не показаны, однако их совместное влияние на причины X выражено в коэффициентах гХ2, г23, г[3; через г12 обозначен гад, и т.д. Такие корреляции называются априорными. Чтобы упростить последующий анализ, воспользуемся с самого начала стандартизованными уравнениями регрессии (рис. 14.6):
