Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11. КОЭФФИЦИЕНТ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Зависимость между путевым анализом и обычным коэффициентом множественной корреляции Ry(123) можно вывести из теоремы о полной детерминации дисперсии У. Обратившись к рис. 14.6 (на котором надо опустить следствие Z) и рассматривая S как «ошибку», не коррелирующую ни с одним из X, мы убедимся, что из уравнения (43) часть дисперсии У, детерминированная причинами Х2, Х3, равна 1—s2. Следовательно, по определению
Ry( 123) = 1 — S2.
(49)
(50)
Учитывая (43), эту величину можно выразить так:
123) = Pi Р2 Рз ^Pl Pi Г12 ^^2 Рз Г23 ^Pl Рз Г\3 ~
= Pi (Pi + р2 Гп + РзПз) + P% (Pi Г12 + Р2 + Рз г23) +
~Ь Рз (Pi '13 Рг ггз Рз) = Pi rY\ Рг ГУ2 Рз rY3"
Это равенство отличается от (40) только заменой Z на Y и b на р. Таким образом, метод анализа путей не только дает нам величину коэффициента множественной корреляции, но и помогает разложить его на компоненты, число которых равно числу независимых переменных, соответствующих промежуточным причинам.
Выражение (50), содержащее коэффициент путей, может быть и не знакомо читателю. Попробуем установить его связь с общеизвестной формулой. Чтобы упростить последующую запись, целесообразно обозначить зависимую переменную индексом 0:У=Х0 точно так же, как мы обозначили Х\ индексом 1 и т. д. Тогда гп примет вид rot и т. д. В первую очередь введем определитель
1 Г01 Г 02 гоз
roi 1 Г12 Г13
Г02 Г12 1 Г23
Г03 Г13 Г23 1
А =
(51)
из которого можно получить другие определители вычеркиванием строк и столбцов. Пусть Aij — новый определитель, полученный вычеркиванием строки, содержащей переменную i, и столбца, содержащего переменную /, где i, / = 0, 1, 2, 3. Например:
(52)
Такие определители меньшего размера называются минорами. Выпишем разложение исходного определителя по элементам первой строки
А = Aqq ГoiAo! Ч~ Г02^02 “'"¦ Г03^03- (53)
1 Г12 Г13 ^01 г12 ГИ
II Г12 1 Г 23 II Г02 1 Г23
о I-1
о О
< <
Т13 Г23 1 Г03 Г 23 1
Обратите внимание на то, что знаки определенных членов поменялись на противоположные.
На втором этапе решим линейные уравнения. Рассмотрим систему уравнений (48*), из которой мы попытаемся найти коэффициенты путей р, так как все г считаются известными (напомним, что pi=pYi~po\ и Гг1 = Го1 и т. д.). По правилу Крамера
Poi
Р02 —
—Ап
-*оо
п — ^2-
Роз- А
аоо
(54)
Это достаточно общий и краткий способ выражения решений через известные величины (в данном случае через г). На заключительном этапе мы выразим коэффициент множественной корреляции, используя (49), (50), (53) и (54):
¦Ro(l23) — 1 S — Pol Г01 “Г Ро2 Г02 РоЗ *03 —
___ Ар1 г01
Др2 г02 I А0з Г03
= 1_“ (55)
Это и есть классическое выражение для Rl{my И наконец, если мы обратимся к случаю, в котором одна (зависимая) переменная детермини-
рована множеством коррелирующих причин и некоррелирующей ошибкой, то множественная регрессия и путевой анализ сольются в один метод и приведут к одинаковым результатам.
§ 12. КОЭФФИЦИЕНТ ЧАСТНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Было бы поучительно установить зависимость между коэффициентом пути и коэффициентом частной корреляции. Для того чтобы представить эту зависимость в простейшей из возможных форм (с использованием только трех переменных), а также привести ее в соответствие с обычным выражением для коэффициента частной корреляции (например, с выражением для Г12.3), гораздо удобнее поменять систему обозначений в начале, а не в конце. В случае трех переменных мы обозначим зависимую переменную через Х\ и независимые переменные — через Х2 и Х3. С целью придать этому параграфу более или менее самостоятельное значение перепишем некоторые из приведенных выше общих выражений для частного случая трех переменных. Пусть Х\, Х2, Хз измеряются в отклонениях от своих средних величин. Регрессия Хг по Х2 и Х3 выражается уравнением
*1 = Ь12Х2 + Ь13х3. (56)
Коэффициенты регрессии Ь12 и bi3 в более формальных выкладках следовало бы записать в виде Ь12.з и &13.2, однако для краткости вторые индексы мы опустим. Эти коэффициенты можно определить из следующих
нормальных уравнений [эквивалентных уравнениям (48)]:
Ь12ЪХ\+Ьъ*ХлХл~ЪХ^
&,22*Л + Ь1з2*з = 2*1*з- <57)
Если теперь мы нормируем переменные xj=Xi/a,-H получим Ъх2 /п = 1 и T,XiXjlti = rij, то нормальные уравнения для нормированных коэффициентов регрессии примут вид [аналогично (48*)]
