Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 14.2
Предстаилеиие У в виде лииейиой комбинации А и В
Y А В
2,26 10 3
2,60 9 5
6,22 20 6
5,96 17 8
5,12 11 11
8,18 18 14
8,50 18 15
9,16 17 18
2У! = 48,00 2А = 120 SB = 80
Y = 6 А= 15 В= 10
2F2 = 335,36 2Л2= 1928 2В2 = 1000
о2у = 5,92 о2л= 16 оав = 25
оу = 2,4331 оа = 4 ав = 5
XYA = 784 S YB = 568 ЪАВ = 1280
Cov (У, Л) = 8,0 Cov (У, ?)= 11,0 Cov (А, В) = 10,0
гуа = 0,8220 rYB= 0,9042 ГАВ = 0,5000
Подставляя численные значения aY, ал, ов из обоих наборов данных, мы получим нормированное уравнение множественной регрессии.
Для данных табл. 14.1Y* = 0,6000 А* + 0,8000 В*. (16.1)
Для данных табл. 14.2 У* = 0,4932 А* + 0,6576 В*. (16.2)
Нормированные коэффициенты частной регрессии А* и В* из приведенных выше уравнений называют коэффициентами путей от А к У и от В к У соответственно (рис. 14.2). Они уже не одинаковы для обоих наборов данных. Кроме того, исходя из (5) и (6), мы находим, что процентные вклады (коэффициенты детерминации) А и В в дисперсию У также весьма различны для двух наборов данных:
из (5) и (6) 1 = dA+dB + dAB,
из (16.1) 1 = (0,6000)2 + (0.8000)2 + 0, (17.1)
из (16.2) 1 = (0,4932)2 + (0,6576)2 -f 2 (0,4932) (0,5676) (0,50) =
= — + — + — . (17.2)
37 37 37
На основании этих результатов можно говорить о некотором свойстве, состоящем в том, что в отсутствие корреляции между А и В их прямые эффекты (0,60 и 0,80) сравнительно велики, а при наличии корреляции между А и В их прямые эффекты (0,4932 и 0,6576) сравнительно малы. Между ними обнаруживается эффект взаимодействия. Отсюда следует, что чем выше корреляция, тем больше эффект взаимодействия А и В и тем меньше их прямые эффекты. Если величина глв отрицательна, то возникают семантические трудности, так как приходится говорить об отрицательных процентах. Смысл тем не менее ясен: отрицательная 16—322
корреляция уменьшает дисперсию У, делая ее величину меньше по сравнению с тем случаем, когда А и В не коррелируют.
По формулам (7) и (8) для данных табл. 14.1, для которых гАВ=0у получаем Cov (У, Л) — оА и Cov (У, В) =о2в.
Следовательно,
rv, = — = а = 0,60, rYR = — = Ъ = 0,80. (18.1)
А Оу аг
Другими словами, когда переменные («причины») Л и В не коррелируют, коэффициент пути превращается просто в коэффициент корреляции.
Рис. 14.2. Диаграммы зависимости У=А+В для данных из табл. 14.1 (слева, г=0)
и из табл. 14.2 (справа, /-=0,50).
Уравнение множественной регрессии (14) для обоих наборов данных одинаково: У=—1,7+0,30Л + +0,32В, однако нормированная регрессия (16) в этих двух случаях различна.
Для данных табл. 14.2 (причины коррелируют) в соответствии с формулой (8) и рис. 14.2 получаем
ГуА = а+ rb=0,4932 +y (0,6576) = 0,8220.
гув--=Ь + га=0,6576 + (0,4932) = 0,9042. (18.2)
Для читателя будет поучительно проверить эти результаты, рассчитав соответствующие коэффициенты корреляции прямо по данным, приведенным в табл. 14.2.
Мы уже отмечали, что полная корреляция, как, например, rYA = = 0,8220, разлагается на две компоненты — одну, равную 0,4932 и обусловленную прямым влиянием Л, и другую, равную-^- (0,6576) =0,3288
и обусловленную непрямым влиянием Л через корреляцию с В. Таким образом, диаграмма пути, подобная рис. 14.2, полностью отражает зависимости между Л, В и У. Другие свойства и правила анализа путей мы обсудим, когда в этом возникнет необходимость. В последующих параграфах мы будем называть переменные Л и В причинами, а переменную У — следствием, вместо того чтобы использовать обычные термины «независимая» и «зависимая» переменные.
§ 3. ЦЕПЬ НЕКОРРЕЛИРУЮЩИХ ПРИЧИН
Большую часть элементов метода коэффициентов путей мы уже рассмотрели в двух предыдущих параграфах. Теперь можно было бы перейти непосредственно к общим теоремам. Однако в этой вводной
части, перед тем как излагать более общие результаты, мы проанализируем некоторые особые случаи.
Рассмотрим цепь некоррелирующих причин: У=А+В; А и В не коррелируют. Пусть в свою очередь А=5+Т, где 5 и Т не коррелируют как друг с другом, так и с В (рис. 14.3). Очевидно, эта система эквивалентна системе Y—S-\-T-\-B, в которой все три причины не коррелируют. В таких случаях, как нам известно из предыдущего параграфа, ко-
