Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
0 0
Решение уравнений дает оценки Аъ А'2, . . А'т. Затем каждая оценка проверяется сравнением с критическим уровнем Gh, который определяется по доверительной вероятности. Если Ak^>Gk, то считается, что сигнал Ah присутствует.
Для принятия решения о наличии сигнала можно пользоваться также проверкой нуль-гипотезы (как это уже делалось для одного и двух сигналов). При определении вероятности ложной тревоги дисперсии оценок вычисляются в соответствии с уравнением [6]
D (Ак) = \iyhh,
где fhh — элементы обратной матрицы А-1; [х = NJ2.
Геометрическая интерпретация на рис. 8.3 может быть распространена на случай т сигналов. Для этого следует рассмотреть векторы sx, s2, . . sm и наблюдаемый вектор
т
X = + п
1
в пространстве Rm.
Векторы определены так же, как в случае двух сигналов. Скалярное произведение и норма в Rn определяются уже известным образом.
Векторы s1( s2, . . ., sm образуют базис пространства проекции Пт. Наилучшая (в смысле минимума среднего квадрата ошибки) оценка Гт полезного сигнала имеет вид
т
Гт — У| AkSk.
1
Оценки Ак равны проекциям наблюдаемого вектора х на векторы zh (к = 1, 2, . . ., т), образующие ортонормальный базис пространства Пт.
Пространство Пт разбивается на 2т-областей, позволяющих принимать решения относительно сигналов Alt А2, . . . Ат. Область для принятия решения «сигнал Ах отсутствует» (Лх = 0) ограничена парой плоскостей, параллельных плоскости, проходящей через векторы . . ., sm.
§ 4. Точная теория
Теория обнаружения, которую мы только что рассмотрели, очень поучительна с точки зрения того, как «маленькие неточности в посылках» приводят к большим последствиям. В частности, мы
надеемся, что наша теория обнаружения сигналов вида
в гауссовском «белом» шуме п (t) верна, по крайней мере в первом приближении.
Это действительно так. Однако результаты точной теории, будучи более общими, достаточно сильно отличаются от приближенных вычислений. Поэтому полезно рассмотреть эти результаты, хотя их изложение здесь будет по необходимости фрагментарным.
Приближение, которое использовалось для получения основных результатов, состояло в том, что функция х (t) заменялась вектором х (х1г х2, . . ., хп). Затем над векторами проделывались все необходимые вычисления и в окончательном результате делался переход к пределу при га—»- оо. В частности, так были получены выражения для статистик (8.8) (8.24) и затем плотности вероятности статистики G (8.15). При этом предполагалось, что при любом к случайные величины хк (к — 1, 2, . . ., п) остаются независимыми и отношение правдоподобия имеет вид (8.4).
В действительности это не так.
Если имеется гауссовский процесс п (t) со спектральной плотностью
то корреляционная функция имеет вид (Приложение I) к (т) = N0 sin шст/2лт,
где сос = 2mvc.
Следовательно, некоррелированными (и вследствие нормальности независимыми) являются значения nk, расположенные через интервалы Atk = лк/w (к = 1,2,...). Отсюда следует, что переход к пределу п оо нельзя осуществить так, чтобы величины xh оставались при этом независимыми, и отношение правдоподобия к (х) нельзя представить в виде (8.4).
Таким образом, все результаты теории, относящиеся к непрерывным величинам, находятся под сомнением.
Для того чтобы получить точный результат, требуется более сложная техника по сравнению с той, которая использовалась нами. Ниже мы приведем, без подробных пояснений, фрагменты этой общей теории и ее основные результаты. Все рассуждения относятся к задаче выделения полезного сигнала s (t) из сигнала х (t) вида (8.1).
т
Г (0 — 2 Ал (t)
i
-22¦ со е (— юссос),
О 0)^(—ЮСЮС),
(8.25)
Новая техника основана на возможности представить случайную функцию п (t) обобщенным рядом Фурье вида
00
n(t) = (8-26)
1
Легко показать, что ортонормальные функции cpfe (t) можно выбрать так, чтобы случайные величины vh были бы некоррелированными, а для нормальной п (t) — и независимыми. Этот выбор <ph можно осуществить не единственным способом [6]. В частности, cpfe (t) могут быть собственными функциями интегрального уравнения
Куи (t) = I & (t — т) ф,( (т) dr,
где к (•) — корреляционная функция процесса п (t); kk — собственные значения.
Теперь идея состоит в том, чтобы для вычисления отношения правдоподобия использовать вектор v (рх, Щ, • ¦ vn) (а не вектор х (хи х2, . . ., хп) значений наблюдаемой функции х (?)). Такой переход действительно можно сделать, так как согласно уравнению (8.26) случайный процесс оказывается эквивалентным счетному числу случайных величин vt, v2, . . ., vn.
Таким образом, вместо условных плотностей /х (х), /2 (х)
можно использовать нормальные плотности
ft п 2
A (v) = П (2пехр (- ?,
ft=l К=1
U (V) = П (2пкК)~^ exp (- Yi {-\~-) •
к=1 (с=1
