Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
В главе 8 были предложены две теоретические схемы обнаружения сигнала в шуме: обнаружение известного сигнала s (t) в сигнале х (t) = s (t) -f- n (t) и обнаружение гармонического сигнала s (t) с неизвестной фазой (детектор огибающей). Рассмотрим, насколько сильно различаются эти две схемы при количественной оценке.
Для нормальных апостериорных плотностей / (x/s) и / (х/п) первая схема приводит к уравнениям (9.5) для РХ и М-функции. Соответствующие РХ приведены на рис. 9.3.
Вторая схема приводит к детектору огибающей. При этом получаются более сложные уравнения (8.31). Однако эти уравнения также приводят к РХ и М-функциям, подобным кривым на рис. 9.3.
Параметром РХ и аргументом М-функции в обеих схемах является отношение сигнал/шум (d'), равное
d' = (2 EJN)\
где Ea — энергия сигнала на интервале наблюдения (О, Т)\ N/2 — значение спектральной плотности шума п (t).
Различие между этими двумя схемами невелико. Оно состоит лишь в том, что значение d' в схеме детектора огибающей, необходимое для обнаружения сигнала с данной вероятностью ложной
тревоги р (S/n) = а0 и данной вероятностью обнаружения р (S/s), несколько больше, чем в схеме с полностью известным сигналом. Так, например, для а0 = Ю-19 и р (S/s) = 0,9 для детектора огибающей d! — 8,0, а для детектора известного сигнала й' = 7,6. (Более подробно сравнение этих двух схем рассматривается в [61.)
Таким образом, обе схемы приводят лишь к количественным различиям, и выбор той или иной схемы не может быть сделан на основании того или иного качественного признака.
Такой признак, допускающий в известной степени качественную проверку теории, содержит параметр d'.
Параметр д! является степенной функцией энергии сигнала Еа с показателем 72. Это обстоятельство можно использовать как качественный признак, характеризующий соответствие теории эксперименту.
Действительно, парабола д! = кЕ^г — выпуклая кривая и качественно отличается от линейной функции
d' = aEa + Ъ и от параболы n-го порядка
d' = aEi, n > 1.
Однако для того чтобы использовать зависимость d' (Es) в качестве индикатора совпадения теории с экспериментом, следует правильно оценивать параметр d' по экспериментальным данным.
Как уже указывалось, отличительной особенностью нейронной системы по сравнению с оптимальным приемником является зависимость параметра d' от собственных шумов нейронной системы, которые могут отсутствовать или быть очень малыми в оптимальном приемнике. Поэтому при оценке параметра d' для нейронной системы необходимо учитывать собственные шумы последней. Если эксперимент ведется при отсутствии внешнего шума, то параметр d! зависит только от собственных шумов нейронной системы.
Основной метод оценки параметра d' состоит в наложении сетки теоретических РХ или М-функций (см. уравнение (9.5)) на соответствующие экспериментальные кривые. Тогда значение d' можно прочитать на соответствующей теоретической кривой, наилучшим образом аппроксимирующей экспериментальные точки.
Если необходимо получить зависимость d' (Es), то нужно использовать семейство экспериментальных РХ, полученных для разных значений энергии сигнала Es. Значение энергии сигнала Es при этом считывается с генератора внешнего сигнала s (t).
Эквивалентная графическая процедура оценки параметра d' процесса решения показана на рис. 9.5, на котором изображено семейство кривых erfc (х — d') для различных значений параметров (df = 0; 0,5; 1,0; ...).
Пусть в некоторых условиях произведен эксперимент и полу' чена вероятность попадания р (S/s) — рг, соответствующая вероятности ложной тревоги аг. Тогда проводится горизонтальная прямая у — ах и находится точка ее пересечения с кривой erfc хй, по которой определяется значение Затем проводятся вертикальная линия х = х0 и вторая горизонтальная линия у = pL.
раметра d'
Искомая линия erfc'fao —d'), по~которой’‘определяется'd', проходит через точку пересечения линий х = х0 и у = pt.
Графический способ особенно удобен, если воспользоваться вероятностным масштабом по оси ординат. Тогда кривые erfc х становятся прямыми линиями и определение d' значительно упрощается.
Таким образом, получается экспериментальная зависимость d' (Es). Если эта зависимость имеет вид
d' = (2ES/N),f* — kEs1, (9.18)
то можно считать, что теория обнаружения применима для описания экспериментальных данных.
Действительно, в этом случае весьма вероятно, что собственный шум остается постоянным (N/2 —- const) и нужная зависимость получается в соответствии с уравнением (9.18).
Для быстрой оценки параметра d' на основании экспериментальных кривых были составлены таблицы (Приложение VII). Входными параметрами таблиц являются вероятности р (S/s) и р (S/n), определяемые по экспериментальной рабочей характеристике. В Приложении VII рассматривается применение таблиц для разных схем опытов. Таблицы можно использовать также для построения М-функций, а также в некоторых других случаях, например для оценки точности нормальной аппроксимации плотностей вероятностей / (x/s) и / (хЫ) и т. д. Все эти вопросы подробно рассмотрены в Приложении VII.
