Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Леонов Ю.П. -> "Теория статистических решений и психофизика" -> 48

Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.

Леонов Ю.П. Теория статистических решений и психофизика — М.: Наука, 1977. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyastatisticheskih1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 95 >> Следующая

где mz (sn) — математическое ожидание величины z нри условии, что в нервом интервале появился сигнал s, а во втором — один шум га, т. е. имеет место комбинация sn; mz (ns) — математическое ожидание при условии появления комбинации ns; Dz — дисперсия величины z, одинаковая для двух условий; пх (t), п2 (t) — случайные функции шума в первом и втором интервалах; sx (0, s2 (0 — сигналы в первом и втором интервалах наблюдения.
При вычислении математических ожиданий тг (sn), тг (ns) и дисперсии Dz были приняты следующие упрощающие предположения:
1) шумы пх и пг независимые, имеют спектральную плотность Л72;
2) энергии сигналов sx и sa равны ESt = Еаг = Ее.
Теперь для апостериорных плотностей вероятности величины z можно записать
/ (*/*») = (2nDt)_,f« ехр | — (Z 2[/} j ;
[(% -J- Е 1
--------w1—] •
Вероятности р (S/s) и р (S/n) получаются интегрированием функций
ое
р (S/s) = § / (z/sn) dz = erfc (x — d'),
\ (9.13)
P(S/n) = ^ / (z/ns)dz = erfc (x -f d’);
Xq
x — xo/e, d' = EJa =-- Y2EJN, (9.14)
где xQ — значение порога, при котором принимали решение.
Уравнения (9.13) определяют РХ и М-функции в эксперименте по абсолютной схеме в двойном интервале. Эти уравнения незначительно отличаются от соответствующих уравнений (9.9) для дифференциальной схемы опытов в одном интервале.
Все замечания, относящиеся к построению РХ и М-функций для первой схемы, полностью применимы к уравнениям (9.13).
В четвертой схеме наблюдения проводятся в двух интервалах и решается задача проверки гипотез Н1 и Н2 о наличии в сигнале х (t) сигнала s (t):
x(t) = с (t) -f- n(t): Hi, x (t) = с (t) -f- s (t) -f n (t): #2.
Таким образом, речь идет об обнаружении сигнала s (t), являющегося приращением основного сигнала с (t).
Если для принятия решения о наличии сигнала s (t) в четвертой схеме также использовать величину г, то легко показать, что уравнения для РХ и М-функции оказываются тождественными уравнениям (9.13). Это имеет место потому, что использование статистики z (9.11) предполагает полную симметрию наблюдений в обоих интервалах, благодаря чему порог принятия решения равен единице.
На этом мы закончим рассмотрение теории РХ и М-функций для различных схем опытов.
§ 5. Закон Вебера для временных сигналов
Можно уточнить теорию М-функций, если заметить, что они должны следовать закону Вебера (в дифференциальной схеме опытов). Как уже указывалось в главе 7, для того чтобы получить такое соответствие, необходимо внести в теорию дополнительное условие о природе внутреннего шума детектора, которое не содержится в теории статистических решений и является опытным фактом.
Применительно к сигналам, являющимся функциями времени, закон Вебера можно записать в виде
EJEC = const, (9.15)
где Es — энергия «едва различимого» сигнала, т. е. различимого с вероятностью, равной 1/2. Закон Вебера относится к дифференциальной схеме опытов. Порог энергии gQ* для обнаружения приращения s (t) с вероятностью, равной 1/2, на основании (7.6) и
(9.7) равен
gt = ms = Es + (с, s). (9.16)
Для дифференциальной схемы опытов имеют место уравнения (9.9), отличающиеся от уравнений (7.1) статической задачи наличием скалярного произведения (с, s) в выражении для порога х (см. уравнение (9.10)).
На основании уравнения (9.10) значение параметра х, соответствующее порогу gl принятия решения, равно
х = \gl — (с, s)]/o, откуда на основании (9.16) следует
Это уравнение аналогично уравнению (7.2) для статической модели обнаружения. Дифференциальный порог х определяется из второго уравнения (9.9) по заданной вероятности ложной тревоги. Если теперь в (9.17) положить а = кЕс, то будет иметь место закон Вебера (9.15). Следует заметить, что выражение (9.15) не зависит от величины (с, s) и, следовательно, не зависит от разности фаз сигналов с (() и s (t).
§ 6. Соответствие теории экспериментальным данным.
Параметр d'
Общая теория обнаружения временнйх сигналов, изложенная в главах 8 и 9, должна допускать экспериментальную проверку.
Сравнение экспериментальных РХ и М-функций с соответствующими теоретическими кривыми для различных схем опытов дает лишь косвенные доказательства правильности теории. В самом деле, аппроксимация соответствующих экспериментальных кривых является неоднозначной процедурой, и поэтому хорошая аппроксимация не может служить доказательством правильности теории.
Поэтому возникает важная задача сравнения теории с экспериментом по некоторым качественным признакам, не допускающим неоднозначных выводов. И такое качественное сравнение теории обнаружения с экспериментом действительно возможно. Существенную роль при этом играет параметр d' (отношение сигнал/шум). Ниже эта задача рассматривается подробно.
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed