Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
х (t) = с (t) + п (t) : Нъ х (t) = с (t) + s (t) + п (t) : Н2.
Так же как и раньше, п (t) — шум (внутренний + внешний), с (t) — основной сигнал, на фоне которого обнаруживается сигнал s (t). В экспериментах часто выбирают
с (t) = A cos со? и s (t) = АА cos соt,
так что s (t) находится в фазе с сигналом с (t).
Полагая, так же как и раньше, п (t) гауссовским, получим для статистики G нормальные апостериорные плотности / (g/s) и / (§!п)- Для того чтобы записать их, оценим математическое ожидание и дисперсию статистики G для второй схемы опытов. Не повторяя вычислений, которые вполне аналогичны уже проделанным, получаем
тп = М (Gn) = § с (t) s (t) dt — (е, s),
ms = М (Gs) = ^ [s (t) + с (*)] s (t) dt = Ea + (c> «). (9.7)
D = D (G) = Ц s (h) s (*2) 6 (<! - h) dtxdt2 = - Es,
где ms — условное математическое ожидание G при условии х = = с (t) + s (t) + п (t); тп — условное математическое ожидание при условии х — с (t) -\~ п (t)\ D — дисперсия статистики G, которая имеет одно и то же значение для Нг и ЛГ2.
Дисперсия D вычислена при тех же предположениях, что и в первой схеме опытов, а именно для «белого» гауссовского шума п (t) интенсивностью N0, и равна D = N0Es/2.
Таким образом, параметр д! для дифференциальной схемы также определяется формулой (9.2).
Апостериорные плотности вероятности при гипотезах Нх и Нг являются нормальными и имеют вид
Г (g — т )2 1
f(g/n) = (2яО)-ч» ёхр [---------------2D~^ J ’
г lg — т)2 1
/ (g/s) = (2я?))—*'» ехр [-------------20^”] •
(9.8)
Интегрируя функции плотности (9.8), получаем для р (S/s) и р (S/n) выражения, аналогичные (9.5):
р (S/s) = erfc (х — d'), р (S/n) = erfc х, (9.9)
где
х = [gQ - (с, s)]h\ d' = EJ б = (2EJN)* (9.10)
Уравнения (9.9) отличаются от соответствующих уравнений
(9.5) лишь тем, что вероятность ложной тревоги зависит от скалярного произведения (с, s), которое входит в х (9.10).
Первое уравнение (9.9) определяет М-функцию. В отличие от первой схемы здесь М-функция зависит также от основного сигнала с (t). Эта зависимость является сложной, так как х зависит от скалярного произведения (с, s), входящего в выражение х в соответствии с (9.10).
В случае, если с (!) и s (t) — гармонические сигналы, находящиеся в фазе, скалярное произведение (с, s) равно
т г
(с, s) = А • ДЛ ^ с (t) s (t) dt = А • ДА ^ cos2 wtdt = о о
= Ес = кЕс, т
где ЕС = А2 § cos2 atdt —энергия основного сигнала. В этом слу-
о
чае (с, s) пропорционально энергии основного сигнала. Если с (t) и s (t) имеют сдвиг по фазе на четверть периода, то
с (t) = А соэ u>t, s (t) = Д A cos (со t + я/2) = + A A sin со t. Тогда, если интервал наблюдения (О, Т) кратен периоду сигналов,
скалярное произведение равно г
(с, s) = + А А • А ^ cos со t sin со tdt = 0.
о
В этом случае говорят, что сигналы с и s ортогональны. Тогда в соответствии с (9.10) уравнения (9.9) переходят в уравнения
(9.6). Дифференциальная схема в этом частном случае эквивалентна абсолютной схеме опытов. М-функция не зависит от основного сигнала с (t). Помимо двух крайних случаев, когда угол ф между векторами сие равен ф = 0 или ф = я/2, очевидно, могут быть промежуточные случаи, когда 0 < ср < я/2.
Таким образом, в эксперименте по дифференциальной схеме в общем случае имеется семейство М-функций для различных основных сигналов. Для синфазных сигналов (9.7) семейство М-функций зависит от энергии основного сигнала Ес.
§ 4. Третья и четвертая схемы опытов
В третьей схеме опыты ведутся по абсолютной схеме с двумя интервалами наблюдения. В этом случае статистикой G, от которой зависит функция правдоподобия, так же как в первой схеме, является скалярное произведение т
G = (s,x) = § х (t) s (t) dt.
о
Однако в отличие от первой схемы статистика G может принимать здесь различные значения: G и G2 в двух интервалах наблюдения. В одном из интервалов содержится полезный сигнал, а в другом — один шум. Когда наблюдатель выбирает интервал с большим значением G, то выбор будет правильным, если большее значение G соответствует сигналу
х (t) = s (t) + п (t).
Поэтому вероятность попадания равна Р (S/s) = p(G,> G2) =p(G1-G2> 0).
Следовательно, для решения задачи необходимо знать распределение разности
x = G1-G2. (9.11)
Если шум п (t) является нормальным, то статистики Gx, G2 будут нормальными случайными величинами.
Параметры т2 и оrz плотности
/ (г) = (2лаг2)~'|! ехр [—(z — mz)*/2cs\\
легко определяются. Имеем
mz (sn) = М [z/sn] = М iGi — G2/sn] = М [$ fsi (О + пх (01 X X Sj (t) dt — 5 n2 (t) s2 (t) dt] = Es, (9.12)
mz (ns) = M [z/ns] = M [Gi — GJns] — —Es,
D* = D [z] = M { 5 fsx (t) + (01 «1 (0 dt — (0 sa (0 dt — Esf =
= M Wi (0 ®i (0 dt — 2 (0 «2 (0 ^lz =
