Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдения в известном смысле эквивалентны двухальтернативной схеме с одним интервалом. Поэтому прежде всего следует рассмотреть теорию для первых двух схем опытов.
§ 2. Построение рабочих характеристик и М-функций для первой схемы опытов
В этом случае, как показано в главе 8, для принятия решения
о присутствии сигнала s (t) известной формы можно использовать статистику т
G = § x(t)s(t)dt.
о
Для того чтобы определить апостериорные плотности случайной величины G, предположим, что шум п (t) является гауссовским случайным процессом. Тогда случайная величина G как функционал от п (t) распределена нормально и остается лишь определить ее два момента — математическое ожидание и дисперсию. Математическое ожидание при гипотезе Hi равно
М [Gn] = п (t) s (t) dt] = ^ s (t) M [n (01 dt = 0.
Математическое ожидание при гипотезе Я2 равно
M[GS] = M[§[n (t) + s{t)]s(t)dt = jjs2(t)dt = Es,
где Е, — энергия полезного сигнала s (t).
Дисперсия статистики G при обеих гипотезах одинакова и равна
D = D (G) = М [ ^ [s (0 + п (0] s (0 dt — Et f =
= М _ § s(tx)s(t2) к (tu t2) dtidh,
где к (tx, tz) — корреляционная функция n (t).
Если предположить, что п (t) есть белый шум, то
к (h, U) = 6 (t! —t2),
где б (tt — t2) — дельта-функция Дирака; NJ2 — спектральная плотность шума.
Тогда дисперсия будет равна D = ^ s (#i) s (t2) б (h — t2) dt! dt2 = M0Es/2.
Таким образом, статистика G при гипотезах Нг и Н2 распределена нормально с параметрами для HXN (0, or) и для H2N (Es, а), где а = YD — среднеквадратичное значение случайной величины G. Апостериорные плотности случайной величины G при гипотезах Нх и Н2 есть гауссовские плотности и, следовательно, имеют вид
/ (g/n) = (2nD)-‘b ехр (---|^-Л ,
(9.1)
/ (g/s) = (2rtD)-4* ехр у---J .
Вероятности попадания р (S/s) и ложной тревоги р (S/n) теперь определяются интегрированием (9.1):
оо
р (S/s) = 5 / (g/s) dg = erfc (x — d'),
go
(9.2)
oo
p (S/n) = 5 / (g/n) dg = erfc X,
go
где
a: = go/ст, d' = EJa = УЩЩ>-Функция erfc определяется как
оо
erfc х = —5 dt = Ф (— x). (9.3)
я:
Функция Лапласа в (9.3) Ф (х) определена формулой 1
ф^=ТтАе~^1' (9'4)
1 Использованную здесь функцию erfc х не следует путать с функцией
2
В (9.2) g0 есть порог, при котором принимается решение о гипотезах Н2.
Параметрические уравнения
р (S/s) = erfc (х — d'), р (S/n) = erfc x (9.5)
определяют РХ процесса решения и М-функцию. Параметр d', равный относительной энергии сигнала, называется отноше-
/’/S/sJ
Рис. 9.3. РХ для различных значений параметра d‘
Рис. 9.4. Нормальная аппроксимация М-функции
нием сигнал/шум. Наиболее важной особенностью нейронных систем является зависимость d' в (9.5) не только от внешнего источника шума, но также и от внутренних шумов нейрональной системы. Как будет показано ниже, действительная величина спектральной плотности N/2 может в несколько раз превышать Ый/2 (9.5) для внешнего источника шума.
Для того чтобы получить РХ, необходимо исключить из системы (9.5) параметр х. Для численных расчетов это всегда легко сделать, пользуясь таблицами функции erfc х или функции Лапласа ф (ж). РХ для различных значений d’ изображены на рис. 9.3.
Для построения М-функции необходимо по заданной вероятности ложной тревоги а = р (S/n) из второго уравнения (9.5) определить значение х0 (рис. 9.4). Тогда уравнение М-функции можно записать в виде
pfS/nl
М-функцйя, определяемая (9.6), изображена на рис. 9.4. В вероятностном масштабе М-функции для различных значений р (S/n) изображены на рис. 8.2.
Рабочие характеристики и М-функции при восприятии временных сигналов отличаются некоторыми особенностями. В соответствии с уравнениями (9.5) и (9.6) обе кривые зависят от параметра д! — отношения сигнал/шум, который для временного сигнала х (?) зависит от энергии сигнала s и спектральной плотности шума NJ2. Параметр d' можно определить так же, как в элементарной теории (см. главу 7), формулой
d' = Am/s = (ms — mn)l а.
Однако ms, тп, б следует вычислять уже для статистики G, а не для сигнала х (t):
ms = М (G/s), тп = М (G/n), б2 = D (G),
где М (G/s) — условное математическое ожидание статистики G при х (t) — s (t) + п (l)\ М (G/n) — условное математическое ожидание при х (t) = п (t).
§ 3. Построение рабочей характеристики и М-функций для второй схемы опытов
Во втором случае эксперимент ведется по дифференциальной схеме.
Так же как в абсолютной схеме, здесь можно использовать для принятия решения статистику G. Отличие состоит лишь в том, что сигнал х (t), на основании которого детектор принимает решение, будет уже иметь другой вид, а именно:
