Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
П
2 Vic = const (8.7)
i
является гиперплоскостью, перпендикулярной вектору s (slt s2,. . »
• • ®n)»
Такой результат получается только в том случае, если случайные величины nk независимы и имеют одинаковые дисперсии. Если это не так, то разделяющая граница может быть весьма сложной поверхностью в re-мерном пространстве.
Если делать измерения через малые интервалы At, то в пределе при п оо величина G будет равна т
G = § s (t)x (t) dt. (8.8)
о
Таким образом, наблюдатель может использовать для принятия решения статистику G, равную скалярному произведению входного сигнала х (t) и ожидаемого сигнала s (t). Сравнивая статистику G с некоторым критическим значением g0, можно принять решение в пользу гипотезы Hv если G < g0, и в пользу гипотезы Н2, если G > g0. Значение g0 определяется одним из принятых критериев.
Статистика G является случайной величиной, так как согласно (8.8) она зависит от случайной функции х (t). Ее можно охарактеризовать одной из условных плотностей вероятности рх (g) и Ръ (g) соответственно при условии первой и второй гипотез. Если G ?о> когда сигнала нет, совершается ошибка первого рода или имеет место ложная тревога.
Вероятность ложной тревоги определяется интегралом
оо
а =$ Pi (g) dg, (8.9)
go
величина ga равна пороговому значению g, при котором принимается решение.
Когда сигнал s (t) есть, а система указывает на его отсутствие, совершается ошибка второго рода. Вероятность р этой ошибки равна
8•
Р= I Pi(g)dg. (8.10)
Выражения (8.9), (8.10) в случае простого сигнала s = const, как и следовало ожидать, аналогичны соответствующим выражениям для аир.
Для построения РХ необходимо знать вероятность правильного решения о гипотезе #2 (вероятность попадания). Эта вероятность равна
ОО
р (Sjs) — 1 — р = ^ Pi (я) dx. (8.11)
go
В случае, когда процесс п (t) является гауссовским, условные плотности Pi (х) и р2 (х) также будут гауссовскими. Это непосредственно следует из выражения
П
Gn ~ At 2 (8-12)
i
откуда видно, что статистика Gn есть линейная комбинация нормальных случайных величин xh (к — 1, 2, . . п) и, следовательно, является гауссовской величиной.
В предельном случае (8.8) статистика остается нормально распределенной случайной величиной. Для характеристики нормального распределения достаточно знать два момента — математическое ожидание и дисперсию.
Математическое ожидание условной плотности рг (х), очевидно, равно нулю, если предположить, что М fn (i)] = 0.
Условное математическое ожидание плотности р2(х) равно
М [Gn/H%] = М [AiSsfc(sfc+ пй)1 — At^sl.
L 1 J i
При п —оо сумма переходит в интеграл т
Es = М [С/Я2] = ^ s2 (f) dt. (8.13)
Дисперсии D [G] условных плотностей рг и р2 одинаковы. Вычисление дисперсии статистики основывается на простых свойствах математического ожидания. На основании (8.8)
D [G] = м[^ s(t)x{t)dt — = М s (t) п (t) dt^ =
о
т
= 55 s {к) s (f2) М (п (ti) п (/2)) dti dti =
о
т
= 55 s ((i) s (h) к (h — f2) dti dt2.
В последнем равенстве используется перестановочность математического ожидания и интеграла. В двойном интеграле к (tx — f2) = М \п (tx) п (f2)l есть корреляционная функция процесса п (О-В наиболее интересном случае к (fx — i2) = б (fx — t2),
где б (•) —дельта-функция Дирака, N0/2— спектральная плотность белого шума. Это соответствует белому шуму п (t) с неограниченной полосой частот. Тогда
D = ^ s (fx) s (t.2) б (h — t2) dtx dt2 = -^2- Ea. (8.14)
Следует заметить, что выражение дисперсии (8.14) для нашей задачи является приближенным. Действительно, в (8.2) предполагается, что случайная функция п (t) имеет конечную дисперсию D. Это возможно только в том случае, если п (t) — белый шум в полосе частот (— о)с, ыс). Тогда D = 7V0o)c/2n, где N0/2 = const есть спектральная плотность функции п (t). Вместе с тем (8.14) справедливо только для о>с = оо.
Таким образом, (8.14) является приближением для больших значений юс. Остается записать явные выражения для нормальных плотностей вероятностей рг и р2 _ 2_
Рг is) = (ялда 2 ехр
—— /
Pi (g) = (rtiVoEs) 2 exp I — N0Eg ) .
Вероятность ложной тревоги на основании (8.9) равна
а = erfc х, (8.16)
где х = ?0 У 2/N0Es.
Вероятность обнаружения на основании (8.11) равна
р (S/s) = erfc (х — d'), (8.17)
где d’ = Y2Es/N0, и функция erfc х определяется соотношением
