Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее простой способ получения оценок состоит в том, чтобы максимизировать апостериорную плотность вероятности по параметру А при наблюдениях хъ х%, . . ., хп\
шах р (А1хъ . . ., хп) = р (Л*/ху, . . хп).
А
Оценка А*, полученная из этого условия, называется наиболее правдоподобной, так как при этом достигается максимум вероятности р (Л* А (Л* + dA*)/xu хг, . . ., хп). Здесь мы замечаем, что способ получения оценок по максимальному правдоподобию совпадает с алгоритмом выбора решающего правила для принятия той или иной гипотезы (см. главу 1). Действительно, при выборе той или иной гипотезы используется правило максимальной апостериорной вероятности гипотезы Ht (i = 1,2) при наблюдаемых в эксперименте величинах хъ . . хп.
При нахождении оценки из условия максимума правдоподобия используется то же самое условие, но вместо апостериорной плотности р (Hi/xx, . . ., хп) берется апостериорная плотность р (А/хъ . . ., хп) оцениваемого параметра.
Часто задача получения максимально правдоподобной оценки еще более упрощается. Вместо определения величины Л* из условия максимума апостериорной плотности вероятности р (А*/хи . . ., хп) определяют Л* из условия максимума совместной плотности вероятности р (А*, хх, хг, , . хп). Такая замена возможна, когда максимумы этих функций совпадают.
Оказывается, что в некоторых случаях получение оценки Л* параметра Л позволяет также проверить гипотезу о наличии полезного сигнала.
Рассмотрим уже известную задачу обнаружения сигнала s (?) по наблюдаемым значениям х (t). Принимая за параметр Л амплитуду полезного сигнала Л$(?), наблюдаемого в аддитивной смеси с «белым» шумом, получим
х (t) = Ля (t) + п (t).
Пусть совместные распределения параметра А и значений хи х2, . . ., хп при th — к А являются нормальными.
Тогда
— 1
р (А, хи..., хп) = (2яБ) ехр — 2q- 2_j К “ Astf'
k=l
где sh = s {th)\ D = D (xh).
Для «белого» шума в полосе частот (—wc, wc) и со значением спектральной плотности, равным NJ2, D = N0wc. Условие экстремума этой функции
-^=0
дА
дает следующее выражение для оценки А* параметра А:
(8-21)
1 1 1
или в непрерывном случае т
J s (t)x (t) dt
= ^----------. (8.22)
J s2 (t) dt о
Таким образом, максимально правдоподобная оценка дается уравнением (8.21). Эта величина пропорциональна статистике G (см. (8.8)), использованной при проверке гипотезы о наличии сигнала s (t). Оценка А* является случайной величиной (так как случайной является х (t). Поэтому нужно выяснить, насколько вероятно значение а*, когда в действительности А = 0 (нуль-гипотеза). Для этого вычисляют вероятность
Р («*) = Р (М* | > а*/А = 0) = р0,
где а* — значение оценки, полученное в опыте, и сравнивают эту вероятность с выбранным доверительным уровнем р0.
Обычно вычисляется доверительный интервал, в котором содержится величина А* с вероятностью, равной Q0. Величина Q0 выбирается близкой к единице. Можно задать вероятность противоположного события. Тогда р0 = 1 — Q0 и проверяется условие
Р («*) > Ро• (8-23)
Доверительный уровень р0 показывает, насколько вероятны отклонения, бблыпие а* при условии А = 0, т. е. р0 показывает, насколько могут быть частыми заведомо неправильные оценки. Таким образом, р0 играет роль, аналогичную таковой вероятности ложной тревоги а.
Если
Р («*) > Ро,
то принимается А =J0, если же р (а*) ^ р0, то принимается А Ф О, следовательно, а* действительно являются оценкой А.
Если щ — гауссовские независимые величины, то оценка А* (см. (8.21)) при условии А = 0 (нуль-гипотеза) распределена нормально с параметрами N ^0, j/^, так как
»т4'
S
Отсюда следует, что вероятность р (Л*) равна
р (а*) = 2erfc (а’ j/".
Пусть X является решением уравнения
2erfc X = р0,
тогда принимается, что А = 0 (с вероятностью (?0)> если
kkxj/s:.
Так, если выбрать р0 = 0,01, то X = 2,58.
Процедура выбора доверительного интервала для характеристики точности оценки малоубедительна, так как величина Q0 (р0) задается произвольно. Тем не менее она является одной из основных процедур математической статистики. Невозможность точных утверждений с вероятностью, равной единице, обусловлена асимптотическим характером теоретических распределений оценки (нормальный, экспоненциальный, %2 и т. д.). Плотность вероятности такого распределения / (х) стремится к нулю при х~*~ оо.
Условие (8.23) эквивалентно сравнению статистики G с некоторой величиной g0, являющейся порогом. Это условие определяет область значений G, соответствующую гипотезе Нх (отсутствия сигнала).
Таким образом, построение оценки А* приводит нас к алгоритму проверки гипотезы относительно наличия сигнала s (г). Исходя из теории оценок, порог G0 определяется так, что система будет обеспечивать уровень ложных тревог равным р0. Следовательно, система будет давать ложную тревогу в числе случаев р0 от числа опытов, в которых сигнала нет.
