Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Леонов Ю.П. -> "Теория статистических решений и психофизика" -> 42

Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.

Леонов Ю.П. Теория статистических решений и психофизика — М.: Наука, 1977. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyastatisticheskih1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 95 >> Следующая

D (Л*) = D (В*) = \i/(1 - А.2),
где [х = NJ2 — спектральная плотность п (t). Вычисление дисперсий проводится совершенно аналогично случаю оценки одного параметра А.
Коэффициент корреляции величин А* и В* равен
ГАВ = м [(А* - А)(В* - В)] = jiV(l - х2).
При условии А = 0 плотность вероятности оценки А* является нормальной и имеет вид
р (а•)=у ^ ехр [- (ау_ •
Следовательно, вероятность ложной тревоги равна
р (Л*) = р (| Л* | > с0/А = 0) = 2 erfc (с0. Уравнение Р (л*) ='Ро
определяет совместно с предыдущим уравнением величину критического уровня с0.
Вероятность обнаружения р (S/s) сигнала А также не зависит от того, присутствует или нет сигнал В. Она определяется формулой
Р (S/s) = Р (| А* | > с0/А Ф 0) = 1 — erfc уг — erfc у2)
где __________ ___________
уг = aY(1 — Я2)/fx + х; у2 = А Y(1 — Я.2)/[х — х; х — CoV(1 ~ ^2)/{а.
Для заданной величины ложной тревоги а величина р (S/s)
I
есть возрастающая функция величины А2------------. Чем ближе друг
И1
к другу сигналы Л и В (чем меньше различаются функции s (t) и q (t)), тем величина % ближе к единице. При этом для достижения заданной вероятности обнаружения каждого сигнала требуется большее значение параметра }Л42/ц.
Интересно рассмотреть геометрическую интерпретацию оценки параметров Л и В методом наименьших квадратов. Эта интерпретация хорошо известна.
Пусть сигнал х (t) измеряется в моменты времени tlf . . ., tn и система использует вектор х (хг, . . ., хп), где хп — х (tn). Следовательно, вместо непрерывных сигналов s (t), q (t) и n (t) будут использоваться векторы s, q, n, которые получаются аналогично вектору х.
Определим скалярное произведение двух векторов в и-мерном пространстве:
П
(u, V) =2jukvk.
1
Величина
II U I2 = (и, и)
есть квадрат нормы вектора и в пространстве Rn. Аналогично непрерывному случаю можно считать, что
IIs II2 ~ II q II2 = 1 •
При сделанных предположениях полезный сигнал представляется вектором
Г = Лй + Bq,
где А и В, как и раньше,— неизвестные параметры. Выражение для Г показывает, что все возможные сигналы лежат в плоскости, проходящей через векторы s и q.
Как и раньше, оценки, вычисленные по методу максимального правдоподобия в предположении нормальности шума п (t), минимизируют квадрат ошибки
L = || х — A*s — 5*qf.
Прямое вычисление дает
.. _ (х, (8 — Xq)) „* _ (х, (q — Щ)
А ~~ 1 — У? ’ ’
где К = (s, q).
Эти выражения почти аналогичны оценкам (8.24) для непрерывного случая. Различие состоит лишь в том, что скалярные произведения в гильбертовом пространстве в уравнениях (8.24) заменены скалярными произведениями векторов в пространстве Rn. Известно [6], что минимум среднего квадрата ошибки L достигается, когда оценка Г* полезного сигнала имеет вид
Г* = Л*8 + В* q
и является проекцией вектора х на плоскость векторов s и q. Оценки А* и В* есть проекции вектора х* на векторы s — X.q и q — ks. Последние векторы перпендикулярны векторам q и s и образуют систему взаимных векторов по отношению к q и s. В плоскости проекций П (в плоскости, проходящей через векторы
S и q) области решений ограничены прямыми линиями, перпендикулярными взаимным векторам и, следовательно, параллельным векторам s и q.
Действительно, при сделанных предположениях относительно шума разделяющая поверхность есть плоскость, а прямые линии являются ее следами в плоскости проекций П.
Г еометрическая интерпретация построения оценок А* и В* показана на рис. 8.3. На рис. 8.3 вектор Г* лежит в области что соответствует решению о наличии сигнала Л и об отсутствии сигнала В. Значение оценки В* в этом случае настолько мало, что вектор Г* близок вектору s. При этих условиях принимается, что оценка В* зависит только от одного шума.
По определению скалярного произведения векторов
(S, q) = | S II q I cos p,
где (J — угол между векторами s и q. Следовательно, параметр % равен cos Р, так как | s | = | q | = 1 и (s, q) =
= %. Чем меньше угол (}, тем труднее разрешить сигнал.
Наконец интересно остановиться на случае задачи разрешения т сигналов: (t), s2 (t), . . ., sm (t). Метод
максимального правдоподобия позволяет получить решение этой задачи столь же просто, как и в случае двух сигналов А и В [61. Входной сигнал, используемый наблюдателем для принятия решения, имеет в этом случае вид
Рис. 8.3. Геометрическая интерпретация оптимального решающего правила
x(t) = 2 Aksk -f п (t),
К=1
где амплитуды Аи А2, . . ., Ат не известны наблюдателю.
Максимально правдоподобные оценки Л1( А2, . . Ат амплитуд определяются из условия минимума квадрата ошибки
что приводит к системе линеиных уравнении ЛА* = С,
где Л = I KJk I — матрица т X т\ А* — вектор т. X 1; С — вектор т X 1;
т т
%jk = § Sj (t) sk (t) dt; Cj = ^ Sj (t) x (t) dt.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed