Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Разрешение сигналов
Максимально правдоподобные оценки не всегда эквивалентны оптимальным стратегиям обнаружения сигнала. Этого следует ожидать, так как в максимально правдоподобных оценках используется значительно меньше данных по сравнению с количеством
данных, необходимых, например, для определения среднего бейе-совского риска. По-видимому, можно ожидать, что в случае оптимальных бейесовских оценок процедура построения доверительных интервалов оценок окажется эквивалентной бейесовской стратегии. Однако в том случае, когда такая эквивалентность имеется, можно ее использовать для решения новых задач.
Рассмотрим, например, следующую задачу. Пусть имеется несколько сигналов. Не нарушая общности, можно ограничиться двумя сигналами -4s (t) и Bq (t) (далее сигнал А и сигнал В). Функции sag заданы, а параметры А и В не известны наблюдателю. По входному сигналу х (t) (0 ^ t ^ Т) наблюдатель должен принять одну из четырех гипотез: Н0 — «нет ни сигнала А, ни сигнала В»; Нх — «имеется один сигнал Аь\ Н% — «имеется один сигнал В»; Н3 — «присутствуют сигналы А и В».
Такая задача называется задачей «разрешения» сигналов. Если бы не было шума, наблюдатель мог бы достоверно разделить сигналы А и В. Разделение можно было произвести, сравнивая между собой величины А* и В*: т
А* = (1 — Я.2)-1 ^ [s (t) — Kq (?)] х (t) dt, о
т
B* = (1 — X2)-1 § {q (t) — %s (i)] x (t) dt, о
где
т
% = § s (t)q(t)dt; о
т т
§ s2 (t) dt = ^ ф (t) dt — 1.
о о
Действительно, при отсутствии шума наблюдаемый сигнал равен
х (I) = (t) + Bq (t).
Тогда, если В = 0, в (8.24) А* = 1 и В* = 0. Если же А = 0,
то согласно той же формуле (8.24) А* = 0 и В* = 1.
Для различения сигналов А и В можно использовать также
какие-либо другие величины, являющиеся функциями s (t) и
q (t).
Таким образом, если какая-либо из величин А* или В* равна нулю, то соответствующий сигнал отсутствует. Если сигналы А и В смешаны с шумом, то величины А* и В* из (8.24) могут быть отличны от нуля, даже если сигналы А и В равны нулю.
Следовательно, наблюдатель для решения должен принять некоторую стратегию, использующую величины А*, В* или какие-либо другие величины, зависящие от наблюдаемого сигнала х (t). Эта стратегия должна дать возможность сделать выбор из
(8.24)
(8.25)
четырех гипотез — Н0, Нъ Н2, Н3, обеспечивая некоторый средний успех.
Для решения задачи можно использовать оптимальную бейе-совскую стратегию. Именно можно использовать стратегию минимума условного риска (см. главу 3). Эта стратегия непосредственно переносится со случая двух гипотез на случай четырех гипотез (#„, Нъ Н2, Н3).
Однако проще для решения этой задачи использовать максимально правдоподобные оценки. При этом, разумеется, надо иметь уверенность, что максимально правдоподобные оценки приведут к тем же результатам, что и теория статистических решений. Для этой задачи такая уверенность действительно имеется.
Так же как и раньше, предположим, что п (t) — «белый» гауссовский шум (это утверждение эквивалентно независимости и нормальности величин щ).
Определим оценки А* и В* величин А и В методом максимального правдоподобия. При наличии шума наблюдается сигнал
х (t) = As (t) + Bq (t) + n (t).
Максимально правдоподобные оценки А* и В* минимизируют средний квадрат ошибки т
L—^ [х (t) — (t) — B*q (<)]2 dt.
о
Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что величины А* и В* минимизирующие L, как раз определяются уравнением (8.24).
Когда сигнал А отсутствует, имеется большая вероятность того, что оценка А* его амплитуды будет малой величиной. Следовательно, можно выбрать доверительные пределы для А* и В* так, чтобы попадание оценок А*, В* в эти пределы с вероятностью, близкой к единице, было бы равносильно отсутствию сигналов А и В. Таким образом, построение доверительных областей для А* я В* приводит к разделению плоскости (А*, В*) на четыре не-пересекающиеся области R0, Rlf R2, R3. Гипотеза Rк принимается, если х €Е Rk-
Задача упрощается благодаря следующему рассуждению. Принятие решения о сигнале А не зависит от оценки В*, так как эта оценка не зависит от величины А. Следовательно, выбор между четырьмя гипотезами сводится к двум независимым выборам относительно сигнала А и сигнала В.
Выбор достигается сравнением А* и В* с некоторым критическим уровнем с0. Здесь используется одно и то же значение с0 для двух сигналов, так как в обоих случаях сигналы А и В смешаны с шумом п (t), и выполняется условие (8.25).
Значение с0 зависит от цены ошибки и, следовательно, от вероятности ложной тревоги р0. Значение с0 определяется условием
р (А* > с0) = р0,
Где справа вероятность того, что оценка А* попадёт в область или R3, когда истинная амплитуда А равна нулю.
Среднее значение А* при условии, что имеется сигнал А, равно М (А*) = А и равно нулю, когда сигнала А нет. Аналогично среднее значение В* при условии, что имеется сигнал В, равно М (В*) = В. Такие оценки А* и В* называются несмещенными. Дисперсии оценок одинаковы и равны
