Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Более общую форму закона временной суммации можно получить в виде
ЕТт = к2 = const.
В такой форме закон сразу следует из (7.28) для т = 1/2:
_ j_
Е^КТ 2. (7.32)
В таком виде закон действительно был подтвержден Пайпером.
Таким образом, пользуясь шкалой отношения правдоподобия, удается объединить, казалось бы, совершенно разные законы в один, выражаемый соотношением (7.28). Зависимость (7.28) уже была получена при выводе закона Вебера точно при тех же самых условиях. Именно в § 3 предполагалось, что основными источниками шума являются квантовая природа света и так называемый темновой шум зрительного анализатора.
Однако, пользуясь шкалой отношения правдоподобия, удается доказать больше. Как показано в § 3 этой главы, при больших значениях В закон (7.29) должен перейти в закон Вебера. Это объясняется тем, что квантовый характер света перестает играть основную роль. Основным источником флуктуаций при больших яркостях В является внутренний шум нейронов, следствием которого при некоторых предположениях является закон Вебера.
Глава 8
ВОСПРИЯТИЕ КАК ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
§ 1. Обнаружение сигналов,
являющихся функциями времени
В предыдущих главах был описан процесс принятия решения нейронной системой, для которого использовалось отношение правдоподобия. При этом считалось, что имеется статическая картина: либо на систему действует сигнал s Ф О, либо на систему действует один шум п, и каждое из этих состояний продолжается теоретически бесконечно долгое время.
В действительности процесс восприятия оказывается более сложным. Полезный сигнал s (t) и шум п (t) являются функциями времени и действуют на систему в течение некоторого интервала времени (О, Т). Следовательно, восприятие протекает во времени, т. е. является динамическим процессом.
В настоящей главе мы распространим метод отношения правдоподобия на описание восприятия в этом общем случае. Для этого следует определить отношение правдоподобия для сигналов, являющихся функциями времени. Такое определение уже имелось в примерах 2.1 и 3.3 (во второй и третьей главах). Следовательно, остается только несколько развить эту технику и получить результаты.
Вначале рассмотрим задачу обнаружения сигнала известной формы s (t) в шуме п (t).
В простейшем случае можно предположить, что полезный сигнал s (t) и шум п (t) смешиваются аддитивно и наблюдается сигнал
х (t) = s (t) + п (t), (0 < f < Т). (8.1)
Затем следует рассмотреть конечное число значений сигнала
к
х (t) в точках ijt = kAt = — Т (1 к и)1.
Значения сигнала х (t) в точках th описываются функциями совместной условной плотности вероятности
fi (х) = /i О*-!» -*-2> • • •> хп)> /г (х) ~ /г (^и ^2> • • •> хп)
1 Здесь рассматриваются значения сигнала в равноотстоящих точках. Однако от этого условия можно отказаться.
соответственно при гипотезах Нг и Н%. После этого можно записать отношение правдоподобия
X (х) = /а (худ (х).
Решающее правило состоит в том, что это отношение сравнивается с порогом А,0. Таким образом, решающее правило остается прежним. В частности, если принимается бейесовское оптимальное решение, то порог Х0 выбирается в соответствии с (3.8). Здесь особенно отчетливо выступает преимущество шкалы отношения правдоподобия по сравнению со шкалой значения стимула. Последняя является многомерной, так как х (хг, х2,. . ., хп) есть вектор размерности п, в то время как шкала X (х) остается одномерной. Если считать случайные величины nk= п (tk) статистически независимыми и распределенными нормально, то плотность вероятности /х (х) запишется в виде
n п 2
Л (я) = (2яБ) 2ехр(-^^-), (8.2)
»=i
где D = D (щ) — дисперсия случайной' величины Хк. Аналогично (8.2) плотность вероятности /2 (х) можно записать так:
и (X) = (2xiD)-n/2 exp (- ? (%0'*)2-) , (8.3)
(*,
S=i
где s„ = s (tk).
Таким образом, при наличии сигнала s (t) случайные величины xk независимы и имеют средние значения (к =1,2, . . ., п). Отношение правдоподобия на основании (8.2) и (8.3) принимает вид
Мх) = яр (?*?&). (8.4)
(С=1
Наблюдатель выбирает гипотезу Нг, если X (х) < Х0 или (в силу монотонности X (х)) если In Х{х) удовлетворяет условию
П п
1 1
Умножая неравенство на At, получим
п п
At Sft + AfDlnX0. (8.5)
Таким образом, для принятия решения наблюдатель использует величину
П
С„ = Д*2*(*»)*(ЭД. (8.6)
1
сравнивая ее с некоторым фиксированным значением g0, определенным в соответствии с принятым критерием. В /г-мерном пространстве с координатами zh поверхность решений
