Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
erfc х = —L=r- ^ е~'2/2 dt. (8.18)
X
Величина d’ называется отношением сигнал/шум. Она является обобщением ранее введенной величины d' для постоянного сигнала s.
Уравнения (8.16) и (8.17) задают в параметрической форме уравнение РХ процесса решения. Если исключить параметр ив этих уравнений х, то получается РХ, представленные на рис. 8.1.
Рабочие характеристики зависят от величины d!, характеризующей относительную интенсивность полезного сигнала по отношению к шуму п (t).
Г (S-Esr 1
[ N°ES J
(8.15)
В логарифмическом масштабе величина р (S/s) является линейной функцией cf. На рис. 8.2 в вероятностном масштабе показано семейство кривых р (S/s) как функций d! в зависимости от вероятности ложной тревоги а.
Функционирование системы, принимающей решение в этом более общем случае, оказывается вполне аналогичным ее работе при простейшем сигнале s = const. Действительно, система на
p/S/s/
0 уг ця 7,0
р /S/n J
Рис. 8.1. рХ сигнала, являюще. гося функцией времени
Рис. 8.2. Вероятность попадаиин как функция параметра
основании наблюдения сигнала х (t), t ее (О, Т), использует для решения статистику G (8.8), которая равносильна отношению правдоподобия X.
Далее для решения используется правило G g0t эквивалентное правилу X (х) 2^ А0. В соответствии с этим правилом пространство с координатами хи х2, . . хп делится на две непересекаю-щиеся области и ?22: если х ЕЕ ?2* — принимается Нх, если ieQi - принимается Я2.
В простейшем случае независимых равноточных измерений (независимость величин nh) разделяющей поверхностью в re-мерном пространстве является плоскость, определяемая уравнением (8.7). В другом случае разделяющая поверхность будет более сложной. Вероятность обнаружения р (S/s) зависит от параметра d' (8.17), который обобщает введенный ранее параметр d!.
Таким образом, основная идея использования отношения правдоподобия (см. главу 1) оказывается применимой для сигналов, являющихся функциями времени.
Для оптимального решения нужно выбирать соответствующий порог Х0 или равнозначный ему порог g0. Так, например, при применении критерия Неймана — Пирсона значение вероятности а за-
дано и порог g0 определяется на основании уравнения (8.16). Затем из уравнения (8.17) находится вероятность р (S/s).
Эта вероятность согласно (8.17) зависит также отсГ. При бей-есовском критерии уровень g0 выбирается на основании минимального среднего риска. В этом случае порог равен
1
Л>о — ' •
?2СР
С другой стороны, согласно (8.15)
. 2So~Eg
Ло — ехр ,
iV0
откуда
go =-g—+(8.20)
Можно использовать также другие критерии оптимальности, которые рассматривались в главе 3.
Рассмотренный вариант задачи обнаружения относился к известному полезному сигналу s (t). Значения шума щ = п (tu) считались независимыми случайными величинами. Такой шум п (t) называется «белым». Это — наиболее неблагоприятный случай, так как в таком шумовом сигнале имеются все гармоники разложения функции в ряд Фурье и их интенсивность одинакова.
§ 2. Связь задачи обнаружения
с задачей оценки параметров сигнала
Для решения задачи обнаружения система предварительно «должна определить» или, как принято говорить в математической статистике, «оценить» некоторые параметры сигнала. Эта связь между обнаружением и оценкой параметров важна для более глубокого понимания теории проверки гипотез. Поэтому ниже устанавливается связь между этими задачами, позволяющая применить эту теорию в других важных случаях.
Пусть в качестве параметра выбрана некоторая величина А, характеризующая полезный сигнал, но остающаяся не известной наблюдателю. Задача состоит в том, чтобы по наблюдаемой функции х (t) найти величину Л*, которая была бы близка в некотором смысле к величине А.
В математической статистике зта процедура называется оценкой неизвестного параметра А. Получение наилучшей оценки А* напоминает оптимальное бейесовское решение о проверке гипотез (см. главу 3). Ошибкам в оценке А*, как и в случае проверки гипотез, приписывается определенная цена. Цена для экспериментатора, что принята оценка А*, когда истинное .значение параметра равно А, является функцией с (А*, А) Она
(8.19)
имеет минимум при А* = А. Кроме функции потерь с (Л*, А) обычно считается известным априорное распределение ф (Л) параметра А.
Таким образом, для получения наилучшей оценки наблюдатель может применить критерий минимума функции потерь
с = min с (А*, А). а*
Однако часто получить оценку Л* из условия минимума с не удается, так как остаются неизвестными функции с (•) и <р (•).
Существуют различные способы, позволяющие уменьшить априорную информацию о распределении параметра А. В частности, Фишером и Крамером (см. [6]) предложены способы получения достаточных оценок, не требующие знания функций ср и с.
