Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
б) теория оценок, определяющая методы и способы оценки неизвестных параметров распределений совокупности или решения задачи предсказания исходя из экспериментальных данных;
в) проверка статистических гипотез (тесты), используемая, если нужно решить, какое из предположений о распределении экспериментальных данных более правдоподобно;
г) регрессионный анализ, задачей которого является подбор математических формул, наилучшим образом описывающих экспериментальные данные;
д) дисперсионный анализ, позволяющий оценить разброс экспериментальных данных и сопоставить его с конкретной ситуацией, к которой относятся данные.
Естественно, что все перечисленные разделы невозможно подробно рассмотреть в одной короткой главе, поэтому мы ограничимся лишь некоторыми простыми понятиями математической статистики, теории выборок, проверки статистических гипотез и методом линейной регрессии, приложение которого будет проиллюстрировано на ряде примеров.
4.2. Теория выборок и выборочное среднее
При массовом промышленном производстве часто нужно без проверки каждого выпускаемого изделия установить, соответствует ли качество продукции установленным стандартам. Обычно число изделий столь велико, что проверка каждого из них оказывается практически невозможной. В таких ситуациях целесообразно проверять параметры ограниченного числа изделий и считать, что результаты проверки справедливы для всей партии. Подобные задачи встречаются также при опросах общественного мнения, определении популярности телевизионных программ или нахождении средних значений параметров объектов, составляющих некоторую генеральную совокупность.
Задачи перечисленных типов решаются путем изучения выборок, сформированных из определенной совокупности объектов или экспериментальных данных. Чтобы полученный при решении задачи результат обладал заданной степенью достоверности, выборка должна иметь достаточный для этого объем. Понятно, что, исходя из мнения случайного прохожего, трудно предсказать исход президентских выборов. Точно так же нельзя утверждать, что все транзисторы из партии в 1 млн. шт. годны или негодны,
проверив только один из них. С другой стороны, поскольку процесс отбора образцов для испытаний может оказаться длительным и привести к дополнительным расходам, объем выборки должен быть оптимальным. Одна из целей данного раздела — определить, каков должен быть объем выборки, чтобы полученные в ходе ее исследования результаты отвечали бы заданным требованиям достоверности.
Обратимся к основным понятиям теории выборок. Всю совокупность изучаемых объектов или экспериментальных данных будем называть генеральной совокупностью. Например, можно считать, что все выпущенные в составе данной серии устройства составляют генеральную совокупность. В задаче о предсказании исхода президентских выборов генеральной совокупностью можно считать численность населения, участвующего в выборах. Будем обозначать через N число объектов или количество данных, составляющих генеральную совокупность. Величину N называют объемом генеральной совокупности. Если N невелико, то его конкретное значение нужно учитывать в процессе решения задачи. Если же N велико, то обычно удобнее считать N = оо. Расчеты параметров генеральной совокупности при N = оо часто выполнять легче, чем при конечном N, и, как скоро станет ясно, при очень больших N практически не играет роли, использовать ли конкретное значение N или полагать N — оо.
Случайной выборкой или просто выборкой называют часть генеральной совокупности, наугад отобранную из нее. Как упоминалось в гл. 1, слово «наугад» означает, что вероятности выбора любого объекта генеральной совокупности одинаковы. Это очень важное предположение, однако часто трудно удостовериться в его справедливости. Объемом выборки п называют число объектов или количество данных, составляющих выборку.
Выборка характеризуется различными параметрами, но один из наиболее важных — выборочное среднее. Обычно на практике каждому элементу выборки можно поставить в соответствие некоторое число. Очевидно, существуют выборки других типов, например такие, которые формируются при опросах общественного мнения, когда объектам нельзя приписать численных значений, однако здесь мы не будем рассматривать ситуации такого рода. Пусть из генеральной совокупности объемом N сформирована выборка объемом п, при этом элементам выборки приписаны соответственно числовые значения хг, х2, хп. Если, к примеру, указанная выборка формируется в процессе контроля качества производимых биполярных транзисторов посредством измерения их коэффициентов усиления по постоянному току |Зг,
i — 1, 2, ..., я, то каждое измеренное значение |Зг следует рассматривать как элемент xt исследуемой выборки. Предположим также, что данная выборка является случайной и все ее элементы
принадлежат к некоторой генеральной совокупности. При этом среднее значение для выборки измеренных элементов xt называют эмпирическим выборочным средним. Можно ожидать, что эмпирическое выборочное среднее не будет заметно отличаться от среднего генеральной совокупности, из которой эта выборка сформирована. Оценка отклонения выборочного среднего от генерального среднего — одна из задач, рассмотренных в настоящей главе.
