Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Для данной конкретной выборки ее выборочное среднее обозначается как
П
X = (1/л) 2j хи' (4.1)
г=1
где Xi — значения элементов выборки. Обычно требуется описать статистические свойства произвольных случайных выборок, а не какой-то одной из них. В этом случае выборочные средние, так же как и элементы выборки, рассматриваются как случайные величины. При этом выборочное среднее удобнее обозначить как
$ = (1 In) S Хи (4.2)
1—1
где Xt — случайные величины с плотностью распределения вероятностей / (х), принадлежащие к генеральной совокупности. Обратите внимание на то, что мы будем по-прежнему обозначать случайные величины и принимаемые ими значения соответственно прописными и строчными буквами. В этой главе будет использоваться именно такая форма записи, и важно уметь отличать общие результаты, полученные для случайных величин, от результатов, полученных для ситуации, в которой эти величины принимают конкретные значения.
Среднее значение для генеральной совокупности, из которой производится выборка, будем называть генеральным средним и обозначать X. Можно ожидать, что выборочное среднее не будет заметно отличаться от генерального среднего. Поскольку обычно выборочное среднее является случайной величиной, для него можно найти математическое ожидание
е&] = е\(i/я) 23 х, 1 = (i/я) 23 е[xt] = (1Ш) 23 х = х.
L i=i J i=i
Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно генеральному среднему. Говорят, что выборочное среднее является' несмещенной оценкой генерального среднего. Термин «несмещенная оценка», широко употребляющийся в математической статистике, означает, что математическое ожидание оценки параметра равно математическому ожиданию параметра.
Всегда желательно, чтобы выборочное среднее было несмещенной оценкой генерального среднего, однако этого недостаточно, чтобы утверждать, что эта оценка состоятельна. Поскольку выборочное среднее само представляет собой случайную величину, принимаемые им значения для конкретных выборок (эмпирические выборочные средние) флуктуируют около генерального среднего. Желательно оценить эту флуктуацию, т. е. определить дисперсию выборочного среднего. Рассмотрим сначала выборку, объем которой много меньше объема генеральной совокупности, п < N. Предположим, что при формировании выборок характеристики генеральной совокупности не меняются. Такое предположение эквивалентно условию N — оо.
Чтобы определить дисперсию выборочного среднего (выборочную дисперсию) D (X), найдем разность между средним квадратом и квадратом математического ожидания случайной величины X, которое, как мы знаем, равно генеральному среднему X. Таким образом,
D(X)
(i/nf Ц Е вд
i=-11=1
(Xf
(1 /nf}}IiE[XiXj]-(Xf. (4.3)
1-1 /=1
Поскольку Xt и X) — параметры элементов генеральной совокупности, при i Ф j их можно считать статистически независимыми случайными величинами. Следовательно,
Е[Х,Х]]-~- { Х1’ 1 = ;’’
1(*)2> i?=j.
Подстановка полученного результата в (4.3) дает
D (X) = (1/я)2 [п X* + (п2 - п) (Xf] - (X)2 - (X* — (Xf)jn = о1 !п
(4.4)
где а2 — дисперсия генеральной совокупности (генеральная дисперсия). Обратите внимание на то, что с ростом п величина D (X) уменьшается. Таким образом, увеличение объема выборки приводит к повышению точности оценки генерального среднего, поскольку математическое ожидание выборочного среднего всегда равно генеральному среднему независимо от объема выборки,
а выборочная дисперсия D (X) при увеличении я уменьшается.
Как уже отмечалось, формула (4.4) получена в предположении, что N — оо. Существует другой подход, позволяющий получить тот же результат. Напомним, что основная причина предположения N = оо связана с требованием статистической устойчивости характеристик генеральной совокупности при формировании выборок. Пусть генеральная совокупность состоит из пяти 10-омных и пяти 100-омных резисторов. Если из нее удалить всего один резистор, то в ней возникнет иное соотношение между резисторами различных номиналов. Однако если бы в генеральной совокупности было по миллиону резисторов каждого номинала, то при удалении из нее одного резистора или даже тысячи резисторов соотношение количеств резисторов различных номиналов осталось бы в ней практически неизменным. Характеристики генеральной совокупности остаются статистически устойчивыми и при условии, что взятые из нее объекты после исследования возвращаются обратно. Поскольку при этом все объекты берутся из сохраняющей свои характеристики генеральной совокупности, такая ситуация аналогична формированию выборки из генеральной совокупности с N = оо. Естественно, какой-то объект может быть выбран более одного раза, но из-за случайности процесса это мало повлияет на полученные результаты. Выборка, сформированная таким образом, называется выборкой с возвращением или повторной выборкой.
