Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Е [S2] = o2N (п — 1)/л (N — 1). (4.9)
Обратите внимание на то, что (4.9) также дает смещенную оценку, однако смещение можно устранить, если S2 определить как
52 = 52n (N — l)/N (п — 1). (4.10)
Обратите также внимание на то, что при N -*¦ оо формулы (4.9) и (4.10) сводятся к (4.7) и (4.8).
Формулы для дисперсии оценок выборочной дисперсии можно получить, выполнив прямые, хотя и трудоемкие”преобразования. Например, легко показать, что
D (S2) = (ц4 — а*)/п, (4.11)
где
ц4 = ?[(Х — Х)43 (4.12)
есть генеральный центральный момент 4-го порядка. С учетом формул (4.7) и (4.8) сразу запишем
D (S2) = п (ц4 — о*)/(п — I)2. (4.13)
Для иллюстрации применения полученных результатов подходят только выборки большого объема. Для этого вновь обратимся к случайной функции времени, показанной на рис. 4.1, для которой уже определено выборочное среднее. Выше мы нашли, что для уменьшения среднего квадратического отклонения выборочного среднего до 1 % генерального среднего, объем выборки п должен равняться 900. Теперь предположим, что та же выборка объемом 900 элементов используется для определения выборочной дисперсии S2, и вычислим ее по формуле (4.8). Напомним, что S2
является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Если
известен генеральный центральный момент 4-го порядка, то по формуле (4.13) можно найти дисперсию этой оценки. К сожалению, |а4 вычислить нелегко, если только не известна плотность распределения вероятностей случайных величин, входящих в выборку. Для целей настоящего обсуждения предположим, что рассматриваемый случайный сигнал является гауссовским, а составляющие выборку случайные величины статистически независимы. Из выражения (2.27) следует, что для гауссовской случайной величины (х4 = 3<т4. Подставив это значение в (4.13), получим
D (S2) = 900 (3 - 92 — 92)/(900 — I)2 = 0,1804,
поскольку дисперсия сигнала ст2 = 9. Таким образом, среднее квадратическое отклонение оценки дисперсии равно 0,4247 или 4,72 % генеральной дисперсии. Отсюда можно сделать вывод, справедливый и в общем случае: для выборки заданного объема точность оценки генеральной дисперсии ниже точности оценки генерального среднего.
Если известна плотность распределения вероятностей оценки З2, то можно определить, какова вероятность попадания выборочной дисперсии в любой заданный интервал значений. Плотность распределения вероятностей f (S2) при большом объеме выборки
можно считать гауссовской; такое же предположение справедливо для плотности распределения вероятностей выборочного среднего. Однако для выборок малого объема такое предположение неприемлемо. Более того, если выборка состоит из гауссовских случайных величин, то при любом объеме плотность распределения вероятностей f (S2) подчиняется хи-квадратичному закону.
Упражнение 4.3.1. Определите, каков должен быть объем выборки для показанного на рис. 4.1 случайного сигнала, чтобы среднее квадратическое отклонение оценки его дисперсии равнялось 1 % дисперсии, если
а) оценка несмещенная,
б) оценка смещенная.
Ответы'. 20 ООО, 20 002.
Упражнение 4.3.2. Пусть плотность распределения вероятностей отсчетов случайной функции времени X (/) равна
/(*)
f е х, ж>0,
1 0, х<0.
Сколько нужно взять отсчетов, чтобы среднее квадратическое отклонение несмещенной оценки дисперсии этой функции равнялось 5 % ее дисперсии?
Ответ'. 3133.
4.4. Плотности вероятностей оценок параметров генеральной совокупности и доверительный интервал
Хотя математические ожидания и дисперсии оценок параметров дают нужные сведения о генеральной совокупности, этого недостаточно, чтобы ответить на вопрос о вероятности попадания оценок в заданный интервал. Чтобы ответить на него, нужно знать плотности распределения вероятностей таких оценок параметра, как выборочное среднее или выборочная дисперсия. При разработке математической статистики определению плотностей вероятностей этих оценок было уделено значительное внимание, и много таких функций описано в литературе. Здесь мы рассмотрим лишь два закона распределения вероятностей выборочного среднего.
Напомним, что в соответствии с формулой (4.2) выборочное среднее равно
f = (1/я) S Х„
г=1
где п — объем выборки, a Xt — случайные величины, принадлежащие к генеральной совокупности. Если эти случайные величины статистически независимы и распределены по нормальному закону с математическим ожиданием X и дисперсией а2, то центрированная и нормированная случайная величина
Z= &-Х)/(о/п1/2) (4.14)
также распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Таким образом, если
распределение генеральной совокупности подчиняется нормальному закону, то выборочное среднее можно считать гауссовской случайной величиной независимо от объема генеральной совокупности или выборки при условии, что генеральное среднее квадратическое отклонение а известно и его можно использовать для нормирования случайной величины в соответствии с выражением (4.14). С другой стороны, если распределение генеральной совокупности нельзя считать гауссовским, то из центральной предельной теоремы следует, что при п -*¦ оо функция распределения вероятностей случайной величины Z асимптотически стремится к гауссовской. Следовательно, можно считать, что распределение выборочного среднего при больших п является гауссовским. Кроме того, если генеральная дисперсия а2 не известна, в (4.14) вместо а можно использовать оценку 5, поскольку при больших п эта оценка должна приближаться к о. Однако при этом возникает вопрос о том, каким должен быть объем выборки п и что делать, если п меньше, чем требуется?
