Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Известно следующее эмпирическое правило: выборочное распределение можно считать гауссовским, если п 30. Если п < < 30, а распределение генеральной совокупности нельзя считать гауссовским, то, вообще говоря, каждую ситуацию приходится рассматривать с учетом конкретных характеристик. Однако если распределение генеральной совокупности является гауссовским, а генеральная дисперсия не известна, то нормированное выборочное среднее нельзя считать гауссовской случайной величиной, поскольку оценка S, используемая при этом вместо а в (4.14), также является случайной величиной. Тем не менее плотноегь распределения вероятностей нормированного выборочного среднего найти можно, и в дальнейшем будет показано, как это сделать.
Для я < 30 определим центрированное и нормированное выборочное среднее:
Г = (X - X)/(SlnU2) (X - X)/[S/(n - 1)1/2]. (4.15)
Распределение случайной величины Т называется распределением Стьюдента с (п — 1) степенями свободы х).
Число степеней свободы распределения Стьюдента будем обозначать через v = п — 1. Тогда плотность вероятностей случайной величины Т равна
ЫО = Г ((у + 1)/2) О + t2/v)-(v+')/2 (ия)“1/2 [Г (у/2)]-1, (4.16)
J) На существование распределения такого вида впервые указал Уильям Госсет, опубликовавший свою работу под псевдонимом «Стьюдеит», поскольку сотрудникам фирмы «Гиннесс Брюэри», в которой он служил, не разрешалось публиковать работы под своим именем.
где Г (...) — гамма-функция, важные свойства которой будут рассмотрены ниже. На рис. 4.2 приведены плотности вероятностей случайной величины, распределенной по закону Стьюдента при v = 1, и центрированной и нормированной гауссовской случайной величины. Видно, что распределение Стьюдента имеет более протяженные хвосты, чем распределение Гаусса. Однако при п ^ 30 кривые почти сливаются. Чтобы вычислить плотность распреде-
ления Стьюдента, необходимо знать значения гамма-функции. Это нетрудно, поскольку можно воспользоваться известными соотношениями. Во-первых, существует рекуррентная формула
\kT(k) при любом k,
Г(Л+1)= м ь (4-17)
(k\ при целых к.
Во-вторых, приведем значения гамма-функции для некоторых аргументов:
Г (1) = Г (2) = 1, Г (1/2) = зт1/2.
Обратите внимание на то, что значения fT (t) ищутся для аргументов, являющихся либо целыми, либо полуцелыми числами. Найдем по формуле (4.17) значение гамма-функции для k = = 3,5. Итак, Г (3,5) = 2,5 Г(2,5) =2,5-1,5 Г (1,5) = 2,5-1,5-0,5 X X Г(0,5) = 2,5-1,5-0,5Я1/2 = 3,323-
При изучении математической статистики часто встречаются с понятием доверительного интервала. Хотя доверительный интервал чаще всего используется в теории оценок, удобнее обсудить его здесь в приложении к функциям распределения выборочного среднего. Выборочное среднее в определенном нами выше смысле представляет собой точечную оценку, поскольку ему может при-
писываться единственное значение. Кроме точечной, можно использовать интервальную оценку, которая утверждает, что оцениваемый параметр с определенной вероятностью принимает значение, лежащее в заданном интервале, называемом доверительным.
Интервал, в пределы которого оценка попадает с вероятностью <7/100 %, будем называть q %-ным доверительным интервалом. Границы этого интервала называются доверительными, a q — доверительным уровнем.
Для выборочного среднего доверительный уровень q определяется следующим образом:
X - ka/nl/2 < X < X + ka/n
1/2
где k — постоянная, связанная с q и плотностью распределения вероятностей
(х) случайной величины X соотношением
(4.18)
Таблица 4.1
Ширина доверительного интервала для гауссовского распределения
А+ЙО
100
j* U(x)dx. (4.19)
ч, % k
90,00 1,64
95,00 1,96
99,00 2,58
99,90 3,29
99,99 3,89
X—ka
Если /л (л:) подчиняется нормальному закону, то зависимость k от q можно представить в виде таблицы.
Значения k для нескольких q приведены в табл. 4.1.
Проиллюстрируем использование табл. 4.1 для выборки из 900 отсчетов случайного сигнала с генеральным средним 10 и генеральной дисперсией 9, показанного на рис. 4.1. Ширину доверительного интервала при q = 95 % легко найти, поскольку
10- 1,96-91/2/9001/2 <Х< 10+ 1,96-91/2/900
1/2
или 9,804 X ^ 10,196. Таким образом, в интервал от 9,804 до 10,196 выборочное среднее может попасть с вероятностью 0,95. Очевидно, что широким доверительным интервалам соответствуют большие доверительные уровни. Следовательно, вероятность попадания оценки в узкий доверительный интервал мала, а в широкий — велика. Поэтому ясно, что если сравниваются выборки одинакового объема, то оценка с q = 99 % хуже, чем, например, с q = 90 % .
Те же выводы относительно доверительных интервалов можно сделать исходя из плотности распределения вероятностей. Обратите внимание на то, что интеграл в (4.19) можно представить как
