Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Купер Дж. -> "Вероятностные методы анализа сигналов и систем" -> 53

Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.

Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем — М.:Мир, 1989. — 376 c.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostniemetodi1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 158 >> Следующая

Упражнение 3.5.1. Плотности вероятностей статистически независимых случайных величин X и Y равны соответственно
fx( х) = 5е~5\ х>0,
/у (У) = %е~2у, у>0.
Определите для случайной величины Z = X + Y:
а) fz (0),
б) значение г, для которого fz (г) максимальна,
в) вероятность того, что Z > 1.
Ответы-. 0, 0,221, 0,305.
Упражнение 3.5.2. Сопротивления резисторов из данного набора представляют собой случайные величины, равномерно распределенные в диапазоне 100— 120 Ом. Пусть два резистора, наугад взятые из этого набора, соединены последовательно. Определите:
а) наиболее вероятное сопротивление такой последовательной цепи,
б) максимальное сопротивление этой цепи,
в) вероятность того, что сопротивление этой цепи превысит 220 Ом.
Ответы: 220 Ом, 0,5, 240 Ом.
3.6. Характеристическая функция случайной величины
Как было показано в разд. 3.5, плотность распределения вероятностей суммы двух независимых случайных величин представляет собой свертку плотностей распределения вероятностей этих случайных величин. Понятно, что плотность вероятностей суммы более чем двух случайных величин можно найти, повторяя свертку до тех пор, пока она не будет выполнена для всех случай-
ных величин, входящих в сумму. Поскольку такая процедура трудна и занимает много времени, возникает естественный вопрос, нет ли более простого способа определения плотности вероятностей суммы случайных величин.
Известно, что если при анализе системы или цепи нужно выполнить свертку функций, то можно воспользоваться различными преобразованиями, которые, упрощая процедуру вычислений, дают возможность заменить свертку простым перемножением отображений участвующих в ней функций. При этом каждой свертке соответствует умножение полученного на предыдущем этапе результата на отображение очередной функции. Понятно, что такой способ можно применить и для нахождения плотностей вероятностей сумм случайных величин. Он будет рассмотрен в настоящем разделе.
Функция
Ф (и) = Е [ехр (jux) ] (3.35)
называется характеристической функцией случайной величины X; она представляет собой математическое ожидание и определяется с помощью выражения
оо
Ф(«)= j / (х) ехр (jux) dx. (3.36)
—оо
Формула (3.36) напоминает преобразование Фурье плотности
распределения вероятностей / (х), отличаясь от него отсутствием
знака минус перед показателем экспоненты. Различие в знаке обусловлено математической традицией, а не фундаментальными соображениями, и не приводит к существенным различиям в приложении или свойствах этого преобразования в сравнении с преобразованием Фурье. Записав по аналогии с обратным преобразованием Фурье обратное преобразование от ф (и), получим выражение для определения плотности распределения вероятностей случайной величины X:
ОО
/(х) = (2л)-1 j ф (и) ехр (jux) du. (3.37)
---00
Одно из приложений характеристических функций поясним на примере рассмотренной в разд. 3.5 задачи определения плотности вероятностей суммы Z двух статистически независимых случайных величин X и Y. Характеристические функции (и) и фу (и) этих случайных величин соответственно равны
оо
Фх (и) - j fx (X) ехр (jux) dx,
—00
00
фу (И) = j /г (у) ехр (juy) dy.
Свертке плотностей вероятностей случайных величин X и Y соответствует произведение характеристических функций этих случайных величин, равное характеристической функции случайной величины Z:
4>z (и) = Ф* (и) <ру (и).
Соответственно плотность распределения вероятностей случайной величины Z равна
ОО
fz (z) = (2л;)'1 j фл: (и) ц>у (и) ехр (—juz) du. (3.38)
—оо
Описанный способ проиллюстрируем на примере, приведенном в предыдущем разделе, в котором случайная величина X была распределена равномерно, а случайная величина Y — экспоненциально. Поскольку
0<х< 1, х< 0, х > 1,
характеристическая функция ф^ (и) случайной величины X равна 1
Фх (и) = j (1)ехр \ jux\ dx — ехр \jux}/ju\o = (e/u — 1 )//и.
<*{х) = { о,
О
Аналогично,
t I / е~У' У>0’
fviy) 1 О, у< О,
ОО 00
Фк (И) = j e-yeiuy dy = ^ ' = 1/(1 - /«)-
о о
Следовательно, характеристическая функция случайной величины Z
Фz (и) = Фл: («) Фк (и) = (е’и — 1 )Ци (1 — ju), а соответствующая ей плотность распределения вероятностей
оо
fz (z) = (1/2я) j [(<?'“ — 1 )Ци (1 — ju)] ехр \—juz\ du =
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed