Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Fz (z) = j \ f (х, у) dx dy.
—ОО —00
В частности, если X и Y статистически независимы, то их совместную плотность распределения вероятностей можно представить в виде произведения двух сомножителей, и (3.29) принимает вид
с» г—у оо г—у
Fz (z) = j \ fx{x)h(y)dxdy = {/г (г/) j fx{x)dxdy.
— ОО —-ОО —00 —-оо
Плотность распределения вероятностей случайной величины Z = = X + Y найдем, продифференцировав Fz (z) по z. Таким образом,
оо
fz (г) = dFz (z)/dz = j fY (у) fx (z - у) dy, (3.30)
—oo
поскольку переменная z фигурирует только в верхнем пределе второго интеграла. Итак, мы видим, что в данном случае fz (z) представляет собой свертку одномерных плотностей распределения вероятностей случайных величин X и Y.
Понятно также, что Fz(z) можно записать не только в виде (3.29), но и как
00 Z—X
Fz (2) = f J f{x, y)dydx,
—oo —oo
выполнив действия, аналогичные использованным при выводе формулы (3.30), находим
оо
Fz(z) = j fx(x)fT(z-x)dx. (3.31)
--00
Следовательно, как и в системном анализе, свертку можно выполнять, используя любую из двух эквивалентных формул (3.30) и (3.31).
Поясним способ определения плотности вероятностей суммы двух случайных величин X я Y. Рассмотрим пример, иллюстрируемый рис. 3.5. Показанные на этом рисунке плотности распределения вероятностей случайных величин X и Y могут быть записаны в следующем виде:
Г 1, 0<л:< 1,
М*) = 1о, х<0, х>1,
f , ч Г е_2/> у>°•
Му) = 1о, у< 0.
Рис. 3.5. Плотности вероятностей двух случайных величин.
Интегрирование должно выполняться в два приема: сначала для области 0 < z < 1, а затем для области z > 1. Для случая использования формулы (3.30) на рис. 3.6 показаны соответствующие графики.
Jo>
ехр
(г — х)} dx = 1 — е~г, 0 < г 1,
J (1) ехр {—(z — x)\dx = (e~ 1)е~г, z>l.
При z < 0 значение fz (г) = 0, поскольку fx (х) = 0 при х < 0 и /у (У) = 0 ПРИ У < 0- Найденная плотность распределения вероятностей показана на рис. 3.6, в.
Полученные результаты можно непосредственно применить при рассмотрении случайной величины, являющейся разностью двух других, т. е. Z = X — Y. Для этого в формуле (3.30) достаточно у заменить на —у. Таким образом,
ОО
fz (г) = J h (у) fx (г + у) dy.
(3.32)
И в этом случае можно воспользоваться другой возможной формулой, аналогичной (3.31), т. е.
оо
/z(z)= j fx (x)!y (x — z)dx. (3.33)
—oo
Рассмотрим случайную величину Z, являющуюся суммой двух гауссовских случайных величин X и Y. Пусть
fx (х) = [{2n)U2axV ехр [- (х - Х)2/2а2х),
fY (у) = [(2я)1/2ст уГ1 ехр [- (у - Yf/2ol].
Рис. 3.6. Свертка плотностей вероятностей: а — 0<г^1; б — г> 1,
e — fz(z).
Используя формулу (3.31), запишем выражение для плотности распределения вероятностей случайной величины Z = X + У:
fz (г) = (2лохауу1 х
оо
X j ехр [— (х — Xfl2o\\ ехр [— (z — х — Yf/2ay] dx.
— оо
Предоставим читателю в качестве упражнения выполнить интегрирование. Результат должен быть
fz (г) = [2я (а2х + ст2у)]-1/2ехр {- [г - (X + F)]2/2 (а2х + а2у)}.
(3.34)
Из полученного результата ясно, что сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин также распределена нормально с математическим ожиданием и дисперсией, являющимися соответственно суммами математических ожиданий и дисперсий исходных случайных величин. Кроме того, понятно, что добавление к сумме гауссовских случайных величин еще одной случайной гауссовской величины приводит к случайной величине с гауссовским распределением. Таким образом, случайная величина, полученная суммированием любого числа независимых нормально распределенных случайных величин, также распре-
делена нормально. Обладающие таким свойством плотности распределения вероятностей называются устойчивыми. Гауссовское распределение является одним из представителей очень ограниченного класса таких распределений. Можно также показать (хотя здесь мы не будем этого делать), что сумма коррелированных гауссовских случайных величин распределена нормально, ее математическое ожидание равно сумме математических ожиданий отдельных входящих в нее случайных величин, а дисперсия находится по формуле (3.28).
Тот факт, что суммы (или разности) случайных нормально распределенных величин также распределены нормально, очень важен при анализе линейных систем. Кроме того, можно показать, что функции, полученные дифференцированием или интегрированием случайных функций времени с гауссовским распределением, являются гауссовскими. Таким образом, при анализе линейной системы с гауссовскими входными сигналами все сигналы, существующие внутри этой системы и присутствующие на ее выходе, могут считаться гауссовскими. С аналогичной ситуацией встречаются в ходе фурье-анализа системы, находящейся в установившемся режиме, когда все сигналы в этой системе считают гармоническими и имеющими одну и ту же частоту.
