Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы научиться анализировать такие ситуации, необходимо расширить понятия функции распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей, рассмотренные в гл. 2.
Двумерную (совместную) функцию распределения вероятностей случайных величин X и Y определяют как вероятность события {Случайная величина X принимает значение, меньшее или равное х, и случайная величина Y принимает значение, меньшее или равное у), т. е.
F (х, у) = Р {X < х, Y < у).
Такое определение F (х, у) является простым расширением понятия функции распределения вероятностей одной случайной величины на случай двух случайных величин.
Свойства двумерной функции распределения вероятностей аналогичны свойствам функции распределения вероятностей одной случайной величины. Кратко они могут быть записаны следующим образом:
1. 0 ^.F (х, у)^.1 При —оо<Х<;о°, —оо<г/<оо,
3. F (оо, оо) = 1,
4. F (х, у) есть монотонно неубывающая функция и по х и по у,
5. F (оо, у) = FY (у), F (х, оо) = Fx (х).
В п. 5 в обозначениях Fr (у) и Fx (х) индексы X и Y введены для того, чтобы подчеркнуть, что эти две функции соответствующих аргументов не обязательно имеют один и тот же вид.
Совместную функцию распределения вероятностей рассмотрим на примере опыта с двумя монетами. Пусть X и Y — случайные величины, связанные с первой и второй монетами и принимающие значение 0 при выпадении герба и 1 при выпадении решетки. Вид соответствующей двумерной функции распределения вероятностей F (х, у) показан на рис. 3.1. Обратите внимание, что она обладает всеми перечисленными выше свойствами.
Введем понятие двумерной (совместной) плотности распределения вероятностей f (х, у), являющейся производной функции
2. F (— оо, у) = F (х, — оо) — F (— оо, — оо) = 0,
Рис. 3.1. Совместная функция распределения вероятностей.
F (х, у). Поскольку F (х, у) зависит от двух независимых переменных х и у, дифференцирование нужно выполнять по обеим переменным. Таким образом,
/ (*, У) = d*F (х, у)/дх ду, (3.1)
где порядок дифференцирования может быть любой. При этом элемент вероятности можно записать в виде
f(x, у) dxdy = Р (х < X < х + dx, у < Y < у + dy). (3.2)
Свойства совместной плотности распределения вероятностей аналогичны свойствам плотности распределения вероятностей одной случайной величины и могут быть записаны в следующей краткой форме:
Ь /(*> У)>0, —ооСх<оо, —ос>Су<оо,
ОО оо
2. | J / (X, у)dxdy = 1,
—*00 «.ОО
X у
3. F(x, у) = j J f(u, v) dvdu,
—ОО —ОО
ОО оо
4. fx (х)= J f (X, у) dy, fY (у)= J f (х, у) dx,
—оо —оо
X* У%
• 5. P(xj.<X<*2, Ух<У ^уг) = J j f(x, у) dx dy.
Xl Vl
Обратите внимание, что второе свойство требует, чтобы объем, ограниченный двумерной плотностью распределения вероятностей, равнялся 1 *).
Рассмотрим простой пример: пусть двумерная плотность распределения вероятностей случайных величин X и Y постоянна от хх до хъ и от ух до уг, т. е.
f !/(*2 - *i) (02 - i/i)> Ух<У < Уг,
*>*2, у^уъ у>уг. ^ Вид этой плотности распределения вероятностей и соответствующей ей двумерной функции распределения показан на рис. 3.2. На практике такой плотностью распределения вероятностей могут описываться, к примеру, размеры полупроводниковых подложек прямоугольной формы. Каждая подложка характеризуется размерами в двух взаимно перпендикулярных направлениях, которые
*) Иногда это свойство называют условием нормировки двумерной плотности вероятностей. — Прим. ред.
можно считать случайными величинами, равномерно распределенными внутри определенных интервалов.
Совместная плотность распределения вероятностей может использоваться для определения математического ожидания одной случайной величины. Математическое ожидание любой функции g (X, Y) равно
ОО оо
E[g(X, Г)]= J J g(x, у) f{x, y)dxdy. (3.4)
Рис. 3.2. Совместная функция распределения (а) и соответствующая ей двумерная плотность вероятностей (б).
Математическое ожидание функции g (X, К) = XY
оо оо
E[XY]= J J xyf(x, y)dxdy (3.5)
—со —оо
называют корреляцией случайных величин X и Y\ свойства корреляции (3.5) будут подробно рассмотрены в разд. 3.4.
Найдем корреляцию случайных величин X и Y, двумерная плотность распределения вероятностей которых / (х, у) имеет простой вид, показанный на рис. 3.2, б. Поскольку f (х, у) отлична от 0 только внутри заданных интервалов изменения, выражение (3.5) преобразуется к форме
Х2 У2
Е [ХГ] = J dx j ху [ l/(x2 — xj) (у2 - г/i)] dy =
х, у1
= [ 1/(*2 — Xi) (г/2 — г/i)] [х2/2 \хх[] [у2/21?] = V4 (*i + *2) (у\ + У2).
