Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Из четвертого свойства совместной плотности распределения вероятностей следует, что интегрированием ее по всей области изменения одной случайной величины можно получить одномерную плотность распределения вероятностей другой случайной
величины. Таким образом, для / (х, у), вид которой показан на рис. 3.2, б, получим
Уг
I [1/(х2- Xi)(y2- yi)]dy =
У\
= [1/(дг2 - Xi) (г/2 - У\)] [у |Й1 == 1/(*г - Jfi), (3.6а)
?
J [l/(x2-Х!)(у2-yx)]dx =
*1
= [1/(лг2 - хй (г/2 — г/])] [x\x‘t] = 11(у2 — г/0- (3-6б)
Упражнение 3.1.1. Предположим, что размеры сторон примоугольной полупроводниковой подложки представляют собой случайные величины, равномерно распределенные с математическими ожиданиями, соответственно равными 1 и 2 см, и одинаковыми максимальными отклонениями относительно математического ожидания, равными 0,01 см. Определите
а) вероятность того, что размеры сторон подложки превысят указанные математические ожидания иа 0,005 см,
б) вероятность того, что размер большей из сторон превысит свое математическое ожидание иа 0,005 см, а размер меньшей будет меньше своего математического ожидания на 0,005 см,
в) математическое ожидание площади подложки.
Ответы: 1/16, 1^16, 2 сма.
Упражнение 3.1.2. Совместная плотность распределения вероятностей случайных величин X и Y имеет вид
А ехр (— (3* + 4у)}, *>0, 0,
0, х<0, у<0.
Определите:
а) значение Л, при котором это выражение действительно можно считать сов местной плотностью распределения вероятностей,
б) вероятность того, что X > 1/2, a У > 1/4,
в) математическое ожидание случайной величины XY.
Ответы: 0,0821, 12, 0,0833.
3.2. Условные функция распределения и плотность вероятностей
Теперь, после введения понятия двумерной (совместной) функции распределения и плотности вероятностей двух случайных величин, можно продолжить начатое в разд. 2.8 рассмотрение условных функции распределения и плотности вероятностей случайной величины X. В приведенных там определениях событие М предполагалось до некоторой степени произвольным и приводилось несколько соответствующих этому случаю примеров. Здесь мы свяжем его с еще одной случайной величиной Y.
Событие М со случайной величиной Y можно связать различными способами. В частности, через М можно обозначить наступ
fx (х) = fr (У) =
ление события у}, и, следовательно, Р (М) будет безуслов-
ной функцией распределения вероятностей Fr (у) случайной величины Y. Из выражения (2.47), служащего определением условной функции распределения вероятностей, следует, что
Fx (х | Y < у) = Р [X < х, МУР (М) = F (х, y)/Fr {у). (3.7)
Через М можно также обозначить событие {г/i < У < Уг}- При этом из (2.47) следует, что
Fx (х IУ1 < У < Уг) = [F (х, у2) - F (х, yj))/[FT (у2) — FT Ы]. (3.8)
В обеих рассмотренных ситуациях вероятность Р (М) события М была отлична от нуля. Однако весьма часто встречается такая форма условной вероятности, где через М обозначено событие {Y = у} в предположении, что случайная величина Y
распределена непрерывно, при этом Р (М) = 0. Условная функция распределения вероятностей предетавляет собой отношение двух вероятностей и поэтому, как правило, существует даже при Р (М) = 0. Из (3.8), положив уг = у, уг — у + Ау и перейдя
к пределу при Ау -> 0, получим
Р (у I у _ ,л _ Um F(x' У+ЬУ)-Р(*> У) __ fx(x\Y -0-Шп Ру(у + Ау)_Ру(у) -
~ X ~\ I
ЯР I к, ,.\ П. \
h (У)- (3.9)
3F (х, у)/ду dFy (у)/ду
j / (и, y)du
Обычно условную плотность распределения вероятностей записывают в виде
fx (х \Y = y)~dF(x\Y = у)/дх ¦= f (х, y)/fY (у). (3.10)
Меняя местами случайные величины X и Y, получим
fr(y\X = x) = f (х, y)/f х (х). (3.11)
В связи с широким использованием формул (3.10) и (3.11), удобно пользоваться сокращенной записью. Поэтому если не возникает двусмысленности, то fx (х \ у) и /у (у \ х) в последующем будем записывать в виде
f (х\у) = f (х, y)/fY (У), (3.12)
f (У\х) = f (х, y)/fx (х). (3.13)
С помощью формул (3.12) и (3.13) для непрерывных случайных величин можно получить вариант формулы Байеса, определенной выше выражением (1.21) для дискретных случайных величин. Исключая из (3.12) и (3.13) f (х, у), сразу получим
f(y\x) = f(x\y)frШх (х)• (3.14)
Из (3.12) и (3.13) можно также получить безусловные плотности распределения вероятностей:
оо оо
