Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
fx(x)= j f(x, у) dy = I f(x\y)fT(y)dy, (3.15)
— 00 —oo
00 oo
h(y)= j fix, y) dx - J f(y\x)fx(x)dx. (3.16)
—oo —oo
Эти две формулы являются непрерывными аналогами формулы
(1.20), применяющейся для дискретных случайных величин.
Необходимо подчеркнуть, что двумерная плотность распределения вероятностей полностью определяет как обе безусловные, так и обе условные плотности распределения вероятностей. В качестве примера рассмотрим двумерную плотность распределения вероятностей вида
(е/ь(\-х2у), 0<х<1, 0<</<1,
m W-lO, *<0, х> 1, у<0, у> 1.
Проинтегрировав f (х, у) сперва по у, а затем по х, получим безусловные плотности распределения вероятностей случайных величин X и Y, т. е.
Ы*) = %( 1-**/2), 0<х<1,
fr (У) = в/6 (1 - #/3), 0<«/<1.
Теперь в соответствии с (3.12) и (3.13) находим условные плотности распределения вероятностей
f(x\y) = (1 - х2у)/(1 — у/3), 0<х<1, 0<г/<1,
f(y\x) = (l -х*у)/(1 ~х*/2), 0<*<1, 0<г/<1.
Условные плотности распределения вероятностей используются во многих ситуациях, среди которых очень часто встречается такая (принадлежащая, возможно, к числу самых простых), где наблюдаемая случайная величина является суммой двух других, одну из которых относят к полезному сигналу, а другую — к шуму. Пусть, например, наблюдается случайная функция времени Y (t), состоящая из полезного сигнала X (t) и аддитивного шума N (t). Для произвольного момента времени t значение
Y — Y (t) этой функции представляет собой случайную величину,' равную сумме двух других X = X (t) и N = N (/), т. е.
Y — X + N. Предположим, что нужно определить f (х\у),
если результаты наблюдения случайной величины У известны. Знать f(x\y) необходимо, потому что значение х, являющееся наиболее вероятным при данном наблюдаемом значении у, может служить правдоподобной оценкой реального значения, принимаемого случайной величиной X, когда измерения производятся на фоне шума.
Условную плотность вероятностей случайной величины X найдем по формуле Байеса
Как следует из определения f (у \х), значение х случайной величины X задано, и случайный характер У связан только с шумовой составляющей N, плотность распределения вероятностей которой fN (п) предполагается известной. Поскольку N = У — X, то f (у| х) = fN (п) = fN (у — х:). Учитывая (3.16), запишем
Итак, если fx (х) и fN (,п) a priori известны, то можно определить условную плотность распределения вероятностей случайной величины X, т. е. f(x\y). Если, например, наблюдаемое значение У = уъ то значение х, для которого f (х\ у±) максимально, можно считать правдоподобной оценкой значения, принимаемого случайной величиной X.
Рассмотрим конкретный пример использования условной плотности распределения вероятностей для экспоненциально распределенной случайной величины с плотностью вероятностей вида
С плотностью распределения вероятностей такого вида можно встретиться, в частности, при преобразовании продолжительности временных интервалов, разделяющих моменты регистрации элементарных частиц высоких энергий счетчиком, установленным на борту космического аппарата, в электрический сигнал, передаваемый на землю. Предположим, что к этому сигналу аддитивно добавляется гауссовский случайный шум с нулевым математическим ожиданием и плотностью распределения вероятностей
f(x\y) = f(y\x)fx (x)/fY (у).
f(x\y) = fN(y- х) fx (x)lfr (У) =
оо
Ы (у - х) fx (X) / j fn (у - X) fx (х) dx. (3.17)
—со
fN{n) = [1/(2jt)i/20jv] ехр { ~nl2al}.
Одномерная плотность распределения вероятностей fY (у), фигурирующая в знаменателе среднего члена выражения (3.17), для данного примера будет равна
fy (у) = j [b/(2ri)U2 aw] ехр { — (у — xf/2а% } ехр {—bx\ dx -
= (6/2) ехр \(-Ьу) + Ь'аЫ\
1 + еГ{
ba
N_
N
(3.18)
Рис. 3.3. Условная плотность вероятностей: а
у>Ьо%.
для у < Ьа%, б — для
Необходимо однако заметить, что если нужно найти лишь положение максимума функции / (х, у), то оценивать функцию /у (у) нет необходимости, поскольку она не зависит от х. Следовательно, для заданного значения У = у функция fY (у) становится постоянной величиной; обозначим ее через рг (у).
Теперь, учитывая (3.17), можно записать искомое выражение для условной плотности распределения вероятностей случайной величины X:
( [bI(2n)U2aNpY (г/)]ехр{— (у — х)2/2ай}ехр { —Ьх\, х>0,
f(x\y)¦
О,
х<0.
