Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
fx(x) = \{x + y)dy = x + 1/2, 0<ЛГ<1, о
1
fr(y) = \(x + y)dx = у+ 1/2, 0<г/<1, о
с помощью которых нетрудно вычислить математические ожида* ния обеих случайных величин:
1
Х = J * (* -f-1/2) dx == 7/12, о
1
Y = \ y(y+\/2)dy = 7/\2.
о
Дисперсии этих величин будут соответственно равны
I
Ох = j (* — 7/и)а (X + V.) dx = 11/144,
о
1
=\(У- 7/12)2 (У + V2) dy = 11/144
а математическое ожидание случайной величины XY равно
1 1
E[XY\ =j j ху(х-{- y)dxdy = 1/3.
о о
Следовательно, в соответствии с (3.25) коэффициент корреляции р = (?[ХП - Х?)/0Л0у = [1/3 - (7/12)2]/(11/144) = -1/11.
Хотя коэффициент корреляции можно вычислить для любой пары случайных величин, особенно полезно использовать его для гауссовских случайных величин, совместные распределения вероятностей которых подчиняются нормальному закону. Совместная плотность распределения вероятностей двух гауссовских случайных величин X и Y имеет вид
f(x, у) = [2noxaY (1 - p2)i/2] I ехр {[—1/2(1 — р2)] X X [(* — ху/а\ -f- (у — Y)2/oy ~~ 2 (х — X) (у — Y) р/аА-сту][. (3.26)
Обратите внимание на то, что при р == 0 формула (3.26) принимает вид
/ (*> У) = (2похоу)~1 ехр {(—х/а) [(х - X'f/o'x + (у— Y)2/a2y]\ --=
= fx (х) fy (у)>
используемый в случае статистической независимости двух гауссовских случайных величин. Следовательно, условие р = 0 для гауссовских случайных величин действительно свидетельствует
об их статистической независимости.
Коэффициент корреляции можно также использовать для представления некоторых результатов рассмотрения случайных величин с произвольной плотностью вероятностей. Например, из определения центрированных и нормированных случайных величин s и г) ясно, что X = ох% + X, Y = (Тут) + Y, и, следовательно,
ХГ = ?[(а*| + Х)((тУ1] + Г)] =
= Е [oxoY%n\ + XoYf] + УOxl + ХУ\ = Рвхвг + XY. (3.27) Рассмотрим еще один пример, в котором Е [(X ± Yf) = Е [X2 ± 2XY + Y2] = ^±2X7 + Y2 =
= о\ -f- (X)2 ± 2рOx<Jy ± 2XY -)- Оу -)- (F)2 =
= ах о у ± 2рсгхву -)- (X ± F)2,
Поскольку последний член в правой части этого выражения представляет собой квадрат математического ожидания случайной величины (X ± Y), то ее дисперсия равна
[ох±у ? = Ох + о\ ± 2рахОу. (3.28)
Обратите внимание на то, что, если случайные величины не-коррелированы (р = 0), дисперсия их суммы или разности равна сумме их дисперсий.
Упражнение 3.4.1. Формула (3.28) может использоваться для определения коэффициента корреляции двух случайных сигналов. Пусть, например, математическое ожидание и дисперсия одного случайного сигнала равны 5 и 8, а другого 3 и 10 соответственно. Кроме того, пусть средний квадрат суммы этих сигналов равен 75. Определите:
а) дисперсию суммарного сигнала,
б) корреляцию сигналов,
в) коэффициент корреляции сигналов.
Ответы: —0,391, 11, 11,5.
Упражнение 3.4.2. Дисперсии статистически независимых случайных величин X и'Х равны соответственно 9 и 16. Случайная величина Z = X + Y. Считая математические ожидания всех случайных величин отличными от нуля, определите:
а) коэффициент корреляции случайных величин X и Z,
б) коэффициент корреляции случайных величин Y и Z,
в) дисперсию случайной величины Z.
Ответы: 25, 0,6, 0,8.
3.5. Плотность распределения вероятностей суммы (разности) двух случайных величин
В приведенном выше примере было показано, что математическое ожидание и дисперсия суммы (или разности) двух случайных величин могут быть легко определены по их математическим ожиданиям, дисперсиям и коэффициенту корреляции, при этом плотности вероятностей не используются. Что же касается задач, связанных с нахождением плотности распределения вероятностей суммы (разности) двух случайных величин, то они, как правило, оказываются более сложными. Здесь будет рассматриваться лишь одна такая задача для статистически независимых случайных величин. Рассмотрение общего случая выходит за рамки проводимого обсуждения.
Пусть случайная величина Z является суммой случайных ве> личин X и Y с плотностями распределения вероятностей соответственно fx (х) и /у (у). Найдем плотность распределения вероятностей fz (z) случайной величины Z = X + Y. Рис. 3.4. поясняет ситуацию. Функцию распределения вероятностей случайной величины Z Fz (z) = Р (Z < z) = Р (X + Y < z) можно получить, проинтегрировав двумерную плотность вероятностей / (х, у) по области, расположенной под прямой х + у = z. Для любого заданного у значение х должно быть таким, чтобы выполнялось условие —оо < х < z — у. Таким образом,
оо z—г/
