Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
3.1.4. Пусть значения, принимаемые случайными величинами X и У, соответствуют очкам, выпадающим на каждой из игральных костей в опыте с двумя костями. Определите:
а) совместную вероятность события {X ^ 3, У > 3},
G) Е [ XY ],
в) Е IX | У].
3.2.1. Случайный сигнал X, подчиняющийся распределению Рэлея с математическим ожиданием 10. суммируется с шумом N, равномерно распределенным с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 12. Значения X и N статистически независимы и могут наблюдаться только как суммарная величина У = Х + N.
а) Найдите условную плотность распределения вероятностей f (х\у) и постройте ее графики для у = 0, у = 6 и у — 12.
б) Укажите, какова наиболее правдоподобная оценка истинного значения, принимаемого случайным сигналом X, если измеренное значение случайной величины У равно 12.
3.2.2. Для двумерной плотности распределения вероятностей из задачи 3.1.2 найдите a) f (х\ у) и б) / (у \х).
3.2.3. Случайное постоянное напряжение, распределенное равномерно в диапазоне от —5 до +5 В, измеряют в присутствии статистически независящего от него шумового напряжения, распределенного по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2 В2.
а) Найдите условную плотность распределения вероятностей этого напряжения для заданного результата измерения и постройте ее график.
б) Найдите наиболее правдоподобную оценку этого напряжения, если результат измерения равен 6 В.
в) Найдите наиболее правдоподобную оценку этого напряжения, если результат измерения равен 7 В.
3.2.4. Случайный сигнал X всегда сопровождается статистически независимым аддитивным шумом N. Таким образом, наблюдаемой величиной является У = X + N. Двумерная плотность вероятностей f (х, у) равна
/ (*» у) = К ехр [— (х2 + (/2 + 4 *</)], — оо < X < оо, — оо <(/ <оо.
а) Напишите общее выражение для определения наиболее правдоподобной оценки значения X как функции наблюдаемого значения у случайной величины У.
б) Определите наиболее правдоподобную оценку величины X, считая, что измеренное значение случайной величины У равно 3.
3.3.1. Установите, являются ли статистически независимыми случайные величины X и Y с приведенными ниже совместными плотностями распределения вероятностей и найдите корреляции Е IXY] этих случайных величин.
а)
j kxjy, 0 ^ дс ^ 1, l^i/^ 2,
f (х. У) | дс<0, дс> 1, у<1, у >2.
б)
в)
= / к {х2 + у2)'
^ 0, дс<0,л:>1, ус0,у>1.
f (х, У)
\k{xy-\- 2х + 3у + 6), 0<*<1, 0<г/<1,
\ 0, дс<0, х>\, у<0, (/>1.
3.3.2. Пусть X a Y — статистически независимые случайные величины и пусть W — jj (X) и V — h (У) — любые функции этих случайных величин, имеющие непрерывные производные по X и Y. Покажите, что W и V также являются статистически независимыми случайными величинами.
3.4.1. Две случайные величины имеют нулевые математические ожидания и дисперсии, равные соответственно 16 и 36. Коэффициент корреляции этих величин равен 0,5. Определите:
а) дисперсию суммы этих величин;
б) дисперсию разности этих величин;
в) дисперсию суммы и разности этих величии, если коэффициент корреляции равен —0,5.
3.4.2. Дисперсии случайных величин X а У равны соответственно о~х = 9 и = 25. Рассмотрим случайные величины U = ЗХ -f 4Y и V = 5Х — 2Y. Определите:
а) дисперсии и o2v случайных величин U и V,
б) коэффициент корреляции этих случайных величин.
3.4.3. Пусть X и У— случайные величины с нормальными распределениями и нулевыми математическими ожиданиями, причем дисперсия X равна 9. Дисперсия суммы этих случайных величин равна 29, а разности — 21. Определите:
а) дисперсию Оу случайной величины Y.
б) коэффициент корреляции случайных величин X и У,
в) дисперсию случайной величины U = ЗХ — 5У.
3.4.4. Суммированием трех случайных величин X, Y и Z, имеющих нулевые математические ожидания и единичные дисперсии, получают случайную величину W = X -f Y + Z. Случайные величины X и Y некоррелированы, а коэффициенты корреляции пар случайных величин (X, Z) и (У, Z) равны соответственно 0,5 и —0,5. Определите:
а) дисперсию случайной величины W,
б) коэффициент корреляции случайных величин W и X,
в) коэффициент корреляции случайной величины W и суммы случайных величин Y и Z.
3.5.1. Плотность вероятностей случайной величины X равна /_(*) = /2*’
1 0, х<0, х> 1,
а статистически не зависящая от X случайная величина У равномерно распределена на интервале от —1 до +1.
а) Запишите плотность распределения вероятностей случайной величины 2= Х+ 2Y.
б) Определите вероятность того, что 0<2^1.
3.5.2. Пассажир каждое утро ездит в город восьмичасовым утренним поездом, реальное время прибытия которого на станцию является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале от 7 ч 55 мин до 8 ч 05 мин. Время отправления этого поезда от станции также представляет собой случайную величину, равномерно распределенную в интервале от 8 ч 00 мин до 8 ч 10 мин.
