Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение4.2.1. У каждого сотого из выпускаемых большой партией полупроводниковых диодов измеряют прямой ток /пр и обратный ток /Оор при напряжениях + 1 и —1 В.
а) Если математическое ожидание и дисперсия случайной величины /0бр соответственно равны 10“в А и 10-11 А2, то сколько диодов нужно проверить, чтобы среднее квадратическое отклонение выборочного среднего не превысило 5% математического ожидания /0бр?
б) Если математическое ожидание и дисперсия случайной величины /пр соответственно равны 0,1 А и 0,0025 А2, то сколько диодов нужно проверить, чтобы среднее квадратическое отклонение выборочного среднего не превысило 1 % математического ожидания /пр?
в) Если бы в обеих проверках объемы выборок были одинаковы и равны большему из объемов, определенных в пп. (а) и (б), то чему были бы равны средние квадратические отклонения выборочных средних /пр и /0бр?
Ответы. 5-10'8А, 2500, 0,00079 А, 4000.
Упражнение 4.2.2. Партию из 80 резисторов нужно проверить с помощью выборки без возвращения, причем среднее квадратическое отклонение выборочного среднего сопротивления не должно превысить 2 % генерального среднего.
а) Каков должен быть объем выборки, если генеральное среднее сопротивление и генеральное среднее квадратическое отклонение сопротивления резисторов были соответственно равны 100 и 5 Ом?
б) Выполните предыдущее упражнение, если генеральное среднее равно 100 Ом, а среднее квадратическое отклонение сопротивления резисторов равно
1 Ом.
в) Для выборки из 10 резисторов определите среднее квадратическое отклонение выборочного среднего сопротивления, если генеральное среднее и генеральное среднее квадратическое отклонение соответственно равны 100 и 1 Ом.
Ответы: 1, 59, 0,3 Ом.
4.3. Выборочная дисперсия
В предыдущем разделе рассматривались вопросы, связанные с оценкой среднего значения случайных величин, составляющих генеральную совокупность, путем усреднения по всем элементам выборки, сформированной из этой совокупности. Была также найдена Дисперсия этой оценки и показано, как она зависит от объема выборки. Однако кроме математического ожидания нас может также интересовать и дисперсия случайных величин, принадлежащих к генеральной совокупности. Знание дисперсии важно, поскольку показывает разброс значений случайных величин относительно их математического ожидания. Например, при измерении сопротивлений резисторов мало найти, что выборочное среднее сопротивление незначительно отличается от номинального. Если среднее квадратическое отклонение сопротивления велико, то независимо от того, насколько выборочное среднее сопротивление близко к номинальному, сопротивления многих резисторов могут сильно отличаться от него. Следовательно, нужно знать не только генеральное среднее, но и генеральную дисперсию.
Есть еще одна причина, по которой нужно оценивать генеральную дисперсию. Напомним, что генеральная дисперсия входит в формулу для определения объема выборки, при котором удается
получить заданную дисперсию выборочного среднего. Сначала генеральная дисперсия может быть не известна и поэтому трудно определить, каким должен быть объем выборки. Оценка генеральной дисперсии обеспечит нас некоторой информацией о том, как нужно изменить объем выборки, чтобы получить приемлемые результаты.
Введем для выборочной дисперсии обозначение S2, чтобы избежать путаницы с обозначениями дисперсии различных выборок. Выборочная дисперсия S2 для выборки, состоящей из случайных величин Хх, Х2, ..., Хп, равна
S2= (1/П) Е (X; — X)2 = (1/п) ? i=1 t=i
х, - (i/л) Е Xj
/=1
(4.6)
Обратите внимание на то, что последний член в квадратных скобках в правой части этого выражения есть выборочное среднее, так что 52 представляет собой среднее значение квадрата разности случайных величин и выборочного среднего.
Математическое ожидание выборочной дисперсии S2 можно найти, раскрыв в (4.6) скобки и определив математические ожидания каждого члена суммы. Выполнив простые, хотя и достаточно утомительные преобразования, получим, что
Е [S2] = о2 (п — 1)1п, (4.7)
где ст2 — генеральная дисперсия. Обратите внимание на то, что математическое ожидание выборочной дисперсии не равно генеральной дисперсии, таким образом, это смещенная оценка. В большинстве приложений хотелось бы иметь несмещенные оценки любого параметра. Поэтому желательно знать, есть ли простой способ получения несмещенной оценки генеральной дисперсии. Из выражения (4.7) следует, что для этого несмещенную оценку необходимо лишь умножить на nl(n — 1). Итак, несмещенную оценку генеральной дисперсии можно получить, определив выборочную дисперсию как
52 = S2n/(n - 1) = [1/(я - 1)]? (Хг - ^)2. (4.8)
;=1
Формулы (4.7) и (4.8) справедливы для генеральной совокупности бесконечно большого объема. Если же объем генеральной совокупности ограничен и равен N, то
