Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Иногда объекты нельзя возвратить в генеральную совокупность. Например, после испытаний на продолжительность службы или испытаний с разрушением объекта. Нежелательно также более одного раза опрашивать одного человека при опросе общественного мнения или, например, при определении популярности телевизионных программ. Однако выборочную дисперсию можно найти даже при малом объеме выборки. Приведем без доказательства используемую для этого формулу:
D (% = g2 (jV — n)/n(N - 1). (4.5)
Обратите внимание на то, что при N -> оо формула (4.5) сводится к (4.4), а при N — п выборочная дисперсия равна 0, Это понятно, поскольку при N = п все объекты генеральной совокупности входят в выборку и выборочное среднее равняется генеральному среднему. Однако понятно и то, что при испытаниях с разрушением такая ситуация невозможна. Проиллюстрируем сказанное с помощью двух примеров. Сначала рассмотрим генеральную совокупность с N = оо. Оценим с помощью выборки математическое ожидание показанного на рис. 4.1 случайного сигнала с математическим ожиданием и дисперсией, соответственно равными 10 и 9.
Как видно на рис. 4.1, отсчеты сигнала берутся в равноотстоящие моменты времени tx, i2, ..., tn. Обычно отсчеты являются случайными величинами, будем обозначать их Xt = X (tt), i = = 1, 2, ..., п. Определим, сколько отсчетов нужно, чтобы среднее квадратическое отклонение оценки математического ожидания сигнала не превысило 1 % его математического ожидания. Если сигнал не ограничен во времени, то объем генеральной совокупности отсчетов N = оо и из (4.4) следует, что
D (.X) = о2/п =. 9/л = (0,01 • 10)2 = 0,01,
где в правой части равенства стоит требуемая дисперсия оценки, соответствующая среднему квадратическому отклонению, равному
0,01 математического ожидания сигнала. Отсюда п = 9/0,01 = = 900. Из этого результата следует, что для обеспечения малой дисперсии оценки генерального среднего при N = оо или при формировании выборки с возвращением требуется достаточно большой объем выборки.
Естественно, если оценить с полученной дисперсией математическое ожидание случайной функции времени, мы не можем гарантировать, что в конкретной ситуации оценка будет отличаться от математического ожидания менее чем на 1 %. Тем не менее мы можем определить вероятность того, что разность между математическим ожиданием и его оценкой не будет превышать 1 % (или любую другую долю) математического ожидания. Для этого необходимо знать плотность распределения вероятностей оценки X. Поскольку при большом объеме выборки выборочное среднее находится в результате суммирования большого числа независимых случайных величин, справедлива центральная предельная теорема и выборочная плотность вероятностей близка к гауссовской и мало зависит от плотностей вероятностей отдельных выборочных значений. Таким образом, вероятность события,
заключающегося в том, что X будет отличаться от X не более чем на 1 %, равна
Р (9,9< X < 10,1) = F(10,1)-F (9,9) =
= Ф[(10,1 - Ю)/0,1] — Ф[(9,9 — 10)/0,1] =
= Ф (1) — Ф (— 1) = 2Ф (1) — 1 = 2-0,8413 — 1 = 0,6826.
Следовательно, вероятность того, что X будет отличаться от X более чем на 1 %, достаточно велика и равна 0,3174.
Предположение о гауссовском распределении выборочных средних довольно реалистично для выборки большого объема, но может оказаться несправедливым для выборки малого объема. Способ, пригодный для выборок малого обьема, будет описан в одном из последующих разделов.
Рассмотрим второй пример с генеральной совокупностью небольшого объема, из которой выборка формируется без возвращения. Пусть генеральная совокупность состоит из 100 биполярных транзисторов, и нужно оценить их средний коэффициент усиления по току (3. Если генеральное среднее р = 120 и генеральная дисперсия ар = 25, то каков должен быть объем выборки, чтобы среднее квадратическое отклонение выборочного среднего составляло 1 % генерального среднего? Поскольку желаемая дисперсия оценки генерального среднего равна D (0) = (0,01.120)2 — = 1,44, из (4.5) следует, что (25/я) [(100 — п)/(100 — 1)] = 1,44. Отсюда п = 14,92, а поскольку объем выборки должен выражаться целым числом, п — 15. Сравнительно небольшой объем выборки объясняется малым объемом генеральной совокупности. Если бы в рассматриваемом примере объем выборки был равен 100 (т. е. в нее входили бы все элементы генеральной совокупности), то дисперсия выборочного среднего равнялась бы 0.
Можно также определить вероятность того, что выборочное среднее будет отличаться от генерального среднего менее чем на
1 %, однако в рассматриваемом примере плотность распределения вероятностей выборочного среднего нельзя считать гауссовской, если, конечно, коэффициенты (3 сами не являются гауссовскими случайными величинами. Это связано с тем, что объем выборки п — 15 слишком мал для применения центральной предельной теоремы. Известно эмпирическое правило: чтобы выборочную плотность вероятностей можно было считать гауссовской, объем выборки п должен быть не менее 30. Способ, используемый при п < 30, будет описан, когда будут рассматриваться различные законы выборочных распределений вероятностей.
