Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
а) Найдите плотность распределения вероятностей интервала времени между моментами прибытия пассажира на станцию и отправления поезда.
б) Определите вероятность того, что пассажир успеет сесть на поезд.
в) Определите вероятность того, чю пассажир успеет сесть на поезд, задержавшись на 3 минуты в дорожной пробке.
3.5.3. Пусть имеется гармонический сигнал вида
X (/) = cos (100/ + 0),
где 0 — случайная величина, равномерно распределенная на интервале от 0 до 2я. Другой гармонический сигнал имеет вид
У (/) = cos (100/ + Y),
где Ч? — статистически не зависящая от 0 случайная величина, также равномерно распределенная на интервале от 0 до 2я. Сумма этих двух сигналов Z (/) = X (t) + У it) может быть выражена через свою амплитуду А и фазу Ф
Z (/) = A cos (100/+ Ф).
Определите вероятность того, что:
а) А > 1, б) А < 1/2.
3.5.4. Во многих системах связи используется пакетная передача данных от ЭВМ. При этом формируется группа двоичных разрядов (порядка 1000), передаваемая как единый пакет. Временной интервал между пакетами представляет собой случайную величину, распределение которой обычно подчиняется экспоненциальному закону, а математическое ожидание обратно пропорционально среднему числу передаваемых за одну секунду пакетов. При некоторых условиях начало передачи должно задерживаться, причем длительность задержки является случайной величиной, распределенной равномерно в интервале от 0 до Т. Считая, что в секунду должно передаваться 100 пакетов, а максимальная продолжительность задержки Т -= 1 мс, определите
а) плотность вероятностей временного интервала между пакетами,
б) математическое ожидание этого интервала.
3.6.1. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
/ (х) — и (х) е~х, а статистически не зависящей от нее случайной величины У —
(!/) — 3и (у) e~Sy. Найдите при помощи метода характеристических функций
плотность вероятностей случайной величины Z - X Н У.
3.6.2. а) Найдите характеристическую функцию тауссовской случайной величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2.
б) Проверьте с помощью метода характеристических функций результат,
полученный в разд. 2.5 для я-го центрального момента гауссовской случайной
величины.
3.6.3. Характеристическая функция случайной величины X, подчиняющейся распределению Бернулли, равна ср (и) = 1 —р-\-ре1и, где р—вероятность того, что событие случится в одном испытании. Для этой случайной величины определите:
а) математическое ожидание,
б) значение среднего квадрата,
3) 3-й центральный момент.
ЛИ ГЕРАТУРА См. список литературы к гл 1, в особенности [2, 6, 8].
Глава 4
Элементы математической статистики
4.1. Введение
Теперь, когда мы рассмотрели основные понятия теории вероятностей, желательно перейти к некоторым ее важным практическим приложениям. Одно из них лежит в области математической статистики. Хотя основная цель этой книги заключается в том, чтобы научить читателя применять теорию вероятностей для анализа сигналов и систем, стоит кратко обсудить основные понятия математической статистики, которая настолько важна для инженера, что без такого обсуждения изложение будет неполным. Однако если читатель пропустит настоящую главу (например, из-за нехватки времени), то не испытает затруднений в понимании материала последующих глав.
Теорию вероятностей и математическую статистику часто рассматривают как одно целое и поэтому в учебниках и курсах лекций излагают совместно. Однако в действительности это две самостоятельные области знания, хотя математическая статистика в значительной мере и опирается на понятия теории вероятностей. Более того, определяя математическую статистику как науку, обычно о вероятностях вообще не упоминают. Вместо этого говорят о накоплении, систематизации и анализе фактов или экспериментальных данных. В очевидном согласии с таким определением в одном распространенном учебнике по математической статистике понятие вероятности вводится лишь в восьмой главе!
В математической статистике можно выделить два основных направления: описательную статистику и индуктивную статистику (статистический вывод). Описательная статистика занимается накоплением, систематизацией и представлением экспериментальных данных в удобной форме. Индуктивная статистика на основе этих данных позволяет сделать определенные выводы относительно объектов, о которых собраны данные, или оценить их параметры.
Область приложения математической статистики чрезвычайно обширна, и в ней можно выделить несколько направлений. Для
наших целей достаточно рассмотреть следующие теоретические направления:
а) теория выборок, посвященная методам формирования выборок из генеральной совокупности экспериментальных данных, объем которой настолько велик, что не позволяет проанализировать ее целиком;
