Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
разность двух выборочных функций распределения вероятностей. Следовательно, (4.19) можно переписать в виде
^100[^(Х + Ь)-F^ (X - ko) J (4.20)
Для распределения Стьюдента зависимость k от q также можно задать в виде таблицы, при этом параметром будет служить v. Однако чаще пользуются функцией распределения вероятностей FT (t). Таблица значений этой функции приведена в приложении Е, а табл. 4.2 для v = 8 предназначена для использования в ходе дальнейшего рассмотрения.
Таблица 4.2
Распределение Стьюдента для v = 8
t ГГ (t) j t Fг (t)
0,262 0,60 2,306 0,975
0,706 0,75 2,896 0,99
1,397 0,90 3,355 0,995
1,860 0,95
Применение этой таблицы для проверки статистических гипотез будет проиллюстрировано в следующем разделе.
Упражнение 4.4.1. Найдите значение плотности распределения Стыодента при t = 1, если
a) v — 5, б) v = 10.
Ответы: 0,2197, 0,2304.
Упражнение 4.4.2. Генеральное среднее и генеральная дисперсия сопротивлений резисторов, образующих генеральную совокупность бесконечно большого объема, соответственно равны 100 и 5 Ом. Выборочное среднее и выборочную дисперсию можно считать гауссовскими случайными величинами. Найдите границы 99 %-ного доверительного интервала для выборочного среднего, если объем выборки равен:
а) п = 100, б) п = 9.
Ответы: от 94,41 до 105,59, от 98,71 до 101,29.
4.5. Проверка статистических гипотез (тесты)
Принятие решений о параметрах генеральной совокупности является одним из важных приложений математической статистики. В предыдущих разделах было показано, как оценить выборочное среднее или выборочную дисперсию и как при заданном доверительном уровне найти границы доверительных интервалов. Кроме того, в отношении генеральной совокупности могут высказываться некоторые гипотезы, в справедливости которых можно удостовериться при изучении выборок. Пусть, например, по
утверждению фирмы средний срок службы выпускаемых ею электрических ламп равен 1000 ч. Таким образом, выдвинута гипотеза, согласно которой генеральное среднее соответствующей генеральной совокупности (элементами которой являются сроки службы всех выпущенных этой фирмой ламп) равно 1000 ч. Поскольку все лампы нельзя испытать на продолжительность службы, приходится испытывать лишь небольшое их количество и по полученным результатам определять выборочное среднее. Возникает вопрос: подтверждают ли результаты, полученные при испытании, принятую для генеральной совокупности статистическую гипотезу? Пусть выборочное среднее выборки всего из двух ламп оказалось равным 900 ч. Можно ли при этом утверждать, что высказанная статистическая гипотеза ошибочна? Очевидно нет, поскольку объем выборки слишком мал и по результатам ее анализа нельзя принять достоверное решение. С другой стороны, пусть для той же выборки выборочное среднее оказалось равным 1000 ч. Доказывает ли это справедливость гипотезы? Трудно сказать. Тогда поставим такой вопрос: как принимать решение о допущении или отклонении статистической гипотезы, если объем выборки и доверительный уровень заданы? Мы достаточно подготовлены для ответа, и дадим его, рассмотрев несколько конкретных примеров.
Тесты могут быть односторонними или двухсторонними. При одностороннем тесте нас интересует поведение параметра по одну сторону от заданного значения. В частности, в примере с электрическими лампами нужно, чтобы средняя продолжительность службы оказалась не менее 1000 ч, если же она окажется больше, то мы будем только рады. Такие ситуации встречаются часто. При двухстороннем тесте нас интересуют отклонения параметра от заданного значения в любом направлении. Пусть, например, нужно определить параметры генеральной совокупности резисторов с номинальным сопротивлением 100 Ом. Ясно, что при этом одинаково важны отклонения сопротивления в обе стороны от номинального.
Обратимся сначала к одностороннему тесту. Пусть, например, указано, что среднее пробивное напряжение конденсаторов равно или превышает 300 В. Испытав 100 конденсаторов, получили, что выборочное среднее равно 290 В, а несмещенное выборочное среднее квадратическое отклонение S равно 40 В. Можно ли с 99 %-ным доверительным уровнем считать, что среднее пробивное напряжение превышает 300 В? Обратите внимание на то, что тест является односторонним, поскольку нас не интересует, насколько среднее пробивное напряжение превышает 300 В.
Сначала выскажем статистическую гипотезу: «генеральное среднее равно 300 В», а затем проверим, соответствует ли она результатам наблюдения. Поскольку объем выборки больше 30,
выборочную плотность вероятностей будем считать гауссовской, а а = S. Таким образом, центрированная и нормированная случайная величина Z принимает значение
z = (К- Х)/(о/п1/2) = (290 - 300)/(40/1001 /2) = — 2,5.
Для одностороннего теста с q = 99 % критическое значение zc находится с учетом того, что ему соответствует площадь под функцией fz(z), равная 0,99. Следовательно,
со
