Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Е [Хх + Х2 + ¦••+ Xm] = Е [XJ + Е [Х2] + ••¦+? [Хт].
11оэтому
Од Е [(X - X)2] = Е [X2 - 2ХХ + (X)2] =
^ Е |Х "j - 2Е [X] X -\- (X)2 = X*- 2Х X + (X)2 = Р - (X)2,
(2.13)
I а к что дисперсия — это разность между средним квадратом слу-ч,чиной величины и квадратом ее математического ожидания. Величина — значение корня квадратного из дисперсии — начинается стандартным или средним квадратическим отклонением.
В электрических схемах дисперсия, как правило, соотносится со средней мощностью, выделяемой на активном сопротивлении переменной составляющей приложенного к нему напряжения или протекающего в нем тока. Корень квадратный из дисперсии в этом случае будет соответствовать показаниям вольтметра или амперметра, стрелки которых отклоняются на угол, пропорциональный эффективному значению переменной составляющей тока или напряжения, и которые не реагируют на постоянную составляющую (например, вследствие того что на входе прибора установлен разделительный конденсатор).
В целях лучшего усвоения материала, относящегося к математическому ожиданию и моментам, рассмотрим ситуацию, где фигурирует случайная величина X с равномерной плотностью распределения вероятностей (рис. 2.10). Такую плотность вероятно-
3 Дж Купер
стей может иметь, например, пилообразное напряжение, изменяющееся линейно в диапазоне от 20 до 40 В. Математически эта функция может быть записана в виде
< 0, — оо <; х < 20,
/(*)= 1/20, 20 <*<40,
[о, 40<л:<оо.
По формуле (2.7) найдем математическое ожидание рассматриваемой случайной величины:
40
X = j_x (1/20) dx = (1/20) (л-2/2) f(x)
20
40
= (1600 - 400)/40 = 30 В.
20
Рис. 2.10. Плотность вероятностей равномерного распределения случайной
величины.
Отметим, что и интуитивно это значение представляется подходящим для того, чтобы считаться средним для описанного пилообразного сигнала. По формуле (2.10) найдем для него средний квадрат:
40 40
X* = J ЛГ2 (1/20)dx = (1/20) (лг3/3) | = (64 - 8)-103/60 = 933,3 В2.
20 20
Дисперсию этой случайной величины можно определить либо по формуле (2.12), либо по формуле (2.13). Из последней имеем
2 I ч/-2
Ох = Л
(Ху | = 933,3 - (30)2 = 33,3 В2
С учетом предположений о случайных процессах, которые будут сделаны ниже, можно сказать, что если измерение пилообразного напряжения выполняется при помощи вольтметра постоянного тока, то последний должен показать 30 В. Если бы измерения выполнялись при помощи вольтметра эффективных значений переменного тока, не реагирующего на постоянную составляющую, то он показал бы (33,3)1/2 В.
В качестве второго примера рассмотрим плотность распределения вероятностей вида
/ (х) = kx [и (х) — и (х — 1) ],
|де и (х), как и ранее, представляет собой единичную функцию. Значение k может быть найдено из 0-го момента f (х), поскольку он представляет собой площадь под графиком плотности распределения вероятностей и должен равняться 1. Таким образом,
1
J kxdx = &/2 = 1,
о
и, следовательно, k — 2. Теперь несложно определить математическое ожидание и средний квадрат, которые соответственно запишутся как
1 1 X - \х (2х) dx = 2/3, Т2 -= \х2 (2х) dx = 1/2.
О о
Оичода получим дисперсию
а\ -= X2 - (X)2 = 1У2 - (2/3)2 =¦ 1/18.
Аналогично, 4-й начальный момент случайной величины X за-иишется как
1
X4 - j х4 (2х) dx 1/3, о
а 4-й центральный момент — как __________________________ 1
(X*- X)4 = j (х - 2/3)4 (2x)dx = 1/135.
о
Последний интеграл без труда вычисляется, если учесть, что (х — 2/3)4 х = (х — 2/3)5 + (2/3) (х — 2/3)4.
Упражнение 2.4.1. Для случайной величины X из упражнения 2.3.1 определите:
а) математическое ожидание,
б) значение среднего квадрата,
в) дисперсию.
Ответы- 1/4, 1/2, 1/2.
Упражнение 2.4.2. Плотность вероятностей случайной величины имеет вид fx (х) = ги [и (х + 2) — и (х — 2)].
Определите для случайной величины Y — X2:
а) математическое ожидание,
б) значение среднего квадрата,
в) дисперсию.
Ответы: 4/3, 64/45, 16/5.
2.5. Нормальное (гауссовское) распределение вероятностей
Среди различных функций распределения вероятностей, которые будут здесь изучаться, особое место занимает, конечно, нормальное распределение (распределение Гаусса). Его важность определяется рядом причин, среди которых необходимо отметить следующие:
