Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
В этой книге, предназначенной для аспирантов, дается широкий обзор теории пероятностей и случайных процессов, а также рассматривается применение их для решения разнообразных системных задач. В ней затронуто большинство вопросов, обсуждаемых в настоящей книге, хотя местами рассмотрение проводится на уровне, доступном читателю, лучше подготовленному по математике. Кроме того, в ней уделено внимание и ряду дополнительных тем. Эта книга представляет несомненный интерес для студентов, которые хотят получить более полные знания о методах вероятностного анализа. В конце каждой главы прда иеден обширный список, в котором перечислены как книги, так и журнальные статьи.
13. Thomas J. В. An Introduction to Applied Probability and Random Processes. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1971.
Эта книга написана на доступном аспирантам уровне и посвящена вопросам теории вероятностей и случайным процессам. Она сложнее настоящей книги, однако круг обсуждаемых в них вопросов примерно одинаков. Она полезна для дополнительного чтения.
Глава 2
Случайные величины
2.1. Понятие случайной величины
В предыдущей главе рассматривались только такие ситуации, в которых число возможных исходов, связанных с любым из опытов, было конечным. Хотя и не утверждалось, что их число должно быть конечным (поскольку в действительности это не так), соответствующее предположение выдвигается и является совершенно справедливым для таких поясняющих примеров, как опыты с монетами, игральными костями и резисторами, вынимаемыми из коробок. Существует, однако, множество других опытов, число возможных исходов которых не будет конечным, и целью настоящей главы является представление способов описания таких опытов в соответствии с введенными выше представлениями теории вероятностей.
Неплохой способ начального описания ситуации с бесконечным числом возможных исходов заключается в дальнейшем рассмотрении все того же опыта с выбором резистора из коробки. В гл. 1 в ходе изучения соответствующего примера было сделано замечание о том, что выбор 1-омного или 10-омного резистора означает, что они имеют маркировку «1 Ом» или «10 Ом». В реальных же условиях сопротивления резисторов близки к этим номинальным значениям и могут отличаться от них на некоторую неизвестную (но измеримую) величину. Отклонения сопротивлений от номинальных возникают из-за нестабильностей процесса изготовления резисторов, и сопротивления могут принимать любые значения в пределах некоторого заданного диапазона. Поскольку фактическое значение сопротивления наперед не известно, оно является случайной величиной.
Представим далее коробку с резисторами, каждый из которых имеет маркировку 100 Ом. В связи с технологическими допусками фактические сопротивления всех этих резисторов несколько отличаются друг от друга. Кроме того, количество возможных значений сопротивлений бесконечно, так что опыту, заключающемуся в выборе одного резистора, соответствует бесконечное число возможных исходов. Даже если известно, что все сопротивления не выходят за пределы 99,99—100,01 Ом, возможных значений внутри
этого интервала бесконечно много. Таким образом, если определить какое-то отдельное событие как выбор резистора с сопротивлением 100 Ом, вероятность его будет равна нулю. С другой стороны, если определить событие как выбор резистора с сопротивлением от 99,9999 до 100,0001 Ом, то его вероятность будет ненулевой. Фактическое значение сопротивления и в данном случае следует полагать случайной величиной, которая в указанном диапазоне может принять любое значение.
Понятие случайной величины можно связать также с функциями времени, и в большинстве рассматриваемых в настоящей книге приложений фигурируют величины именно такого типа.
Хотя в гл. 3 мы будем иметь дело исключительно со случайными величинами и функциями времени, здесь стоит несколько от* влечься, чтобы отметить наличие связи между этими понятиями, так как это даст возможность понять, в чем состоит практическая польза от проводимого изучения.
Предположим, что в результате некоторого опыта реализована случайная функция времени х (t), пример которой дан на рис. 2.1. В определенных практических ситуациях такая реализация является лишь одной из бесконечного множества потенциально возможных. Совокупность всех реализаций образует случайный процесс, обозначаемый X (t) = {х (?)}. Если для него определены также и вероятностные характеристики, эта совокупность называется ансамблем. Любой член ансамбля (например, х (t)) представляет собой выборочную функцию и ее значение в некоторый определенный момент времени, к примеру в момент tt является случайной величиной, обозначаемой X (tt) или просто Хх. Таким образом, = х (ti), если х (t) — отдельная наблюдаемая выборочная функция (реализация) случайного процесса X (t).
Понятие случайной величины, связанной со случайным процессом, шире, чем то, которое вытекало из приведенного выше примера с резисторами. Во-первых, здесь в каждый момент времени фигурирует своя случайная величина, хотя между любыми двумя величинами, соответствующими различным моментам времени, обычно имеется определенная связь. Во-вторых, случайный
