Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Купер Дж. -> "Вероятностные методы анализа сигналов и систем" -> 34

Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.

Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем — М.:Мир, 1989. — 376 c.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostniemetodi1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 158 >> Следующая

а) математическое ожидание скорости молекул;
б) массу одной молекулы.
Ответы'. 2794,9 м/с, 1,35-10'27 г.
Хи-квадратичное распределение. Можно обобщить полученный выше результат, если случайную величину определить как
где У1; Y2, Yn — независимые гауссовские случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. В этом случае говорят, что случайная величина X2 имеет хи-квадратичное распределение с п степенями свободы, а ее плотность распределения вероятностей
Если нормировать случайные величины так, чтобы дисперсия была единичной, то рассмотренное выше распределение мощности можно считать хи-квадратичным с п = 1. Аналогично, для распределения Рэлея квадрат величины промаха (R2) можно считать хи-квадратичным с п — 2. Распределение Максвелла для квадрата
со
Р (е > 2ё) = Р (V > 61/2сх) = 0,1128.
Х2 = У?+}1+ ... +F,
•2
ПУ
(2.34)
f(x2)
скорости (V2) можно считать хи-квадратичным с п = 3 и ему можно поставить в соответствие плотность распределения вероятностей энергий молекул.
Математическое ожидание и дисперсия хи-квадратичной случайной величины выражаются в очень простом виде благодаря исходному предположению о единичных дисперсиях компонент. Таким образом:
X2 = п, (огх*)2 = 2 п.
Во многих задачах, связанных с обнаружением сигналов, где но совокупности отсчетов измеряемого напряжения необходимо сделать вывод о наличии или отсутствии сигнала на фоне шумов, часто используется хи-квадратичное распределение. Если напряжение содержит только шумовую составляющую, то совокупность отсчетов имеет нулевое математическое ожидание и к ней применимо хи-квадратичное распределение. Однако, если в нем присутствует и сигнал, математическое ожидание будет отличаться пт нуля. Случайная величина, представляющая собой сумму кнлдратов отсчетов вида (2.34), при этом будет характеризоваться нецентральным хи-квадратичным распределением. Хотя задачи обнаружения сигналов описанного здесь типа и имеют чрезвычайно пажное значение, дальнейшее рассмотрение применения соотнетстнующих распределений выходит за рамки настоящей киши.
Упражнение 2.6.4. Пусть каждая из 10 независимых выборок напряжения
1 нормальным распределением имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию, ранную 16 В2. Суммированием квадратов этих выборок получают нон у to случайную величину. Определите ее математическое ожидание и дисперсию.
Ответы: Г. 120 В4, 160 В2.
Лопфифмичсски нормальное распределение. Если случайная величина определена как логарифм другой случайной величины, ее распределение будет иметь несколько иную связь с нормальным. Например, в системах связи затухание сигнала при прохождении его по тракту обычно измеряется в неперах и выражается как
Л = In (WBbJWBJL),
где U^BbIX и WBX — мощности выходного и входного сигналов соответственно. Из экспериментов известно, что затухание А очень часто ведет себя как случайная величина с нормальным распределением. Отсюда появляется задача определения плотности распределения вероятностей отношения мощностей.
Чтобы получить результат в общем виде, рассмотрим две случайные величины, связанные соотношением Y = In X, или, что эквивалентно, X = ехр (У), и предположим, что Y представляет собой гауссовскую случайную величину с математическим
ожиданием Y и дисперсией оу. Используя (2.5), несложно показать, что плотность распределения вероятностей для X имеет вид
, . . I <1/(2т)’/2otj-a-) ехр [— (In JC - У)72а‘у], х>0,
(о. *<о.<2-36>
Это и есть логарифмически нормальная плотность распределения вероятностей. В технике чаще используются десятичные логарифмы, но перейти от одних к другим очень просто. На рис. 2.14 показан общий вид графиков логарифмически нормальных плотностей распределения вероятностей.
Математическое ожидание и дисперсия находятся как обычно и имеют вид _
X = ехр (Г огу/2),
or* = [ехр (огу) — 1] ехр 2 (Y + Оу/2).
Логарифмически нормальная функция распределения вероятностей не может быть записана через элементарные функции.
Если необходимо выполнять расчеты с применением этого рас-
пределения, обычно приходится прибегать к численному интегрированию.
Упражнение 2.6.5. Логарифмически нормальное распределение получено из обычного нормального распределения с математическим ожиданием, равным 2, и дисперсией, равной 1.
а) Определите, каково наиболее вероятное значение логарифмически нормального распределения.
б) Решите задачу (а), если математическое ожидание нормального распределения равно 4, а дисперсия 6.
Ответы: 2,718, 0,1353.
2.7. Другие плотности распределения вероятностей
Кроме распределений вероятностей, имеющих связь с нормальным, в ходе решения технических задач нередко приходится встречаться и с другими. Некоторые из них будут описаны,
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed