Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
X4 = За4 + 6а2 (X)2 + (X)4.
Прежде чем переходить к дальнейшему рассмотрению, интересно сравнить выражение (2.14) с вероятностью, рассчитываемой но приближенной формуле (1.30) для опытов по схеме Бернулли при больших п. Можно заметить, что по внешнему виду формула Муавра—Лапласа напоминает нормальную плотность распределения вероятностей, если отвлечься от того, что Ьав этой формуле — целые числа, и считать пр математическим ожиданием,
.-I tipq — дисперсией. Поскольку схема Бернулли связана с дискретным распределением, плотность вероятностей для нее будет представлять собой совокупность дельта-функций, число которых reм больше, чем больше п, и фигура, образуемая ими, при п -> оо будет приближаться к распределению Гаусса.
Другим важным следствием, тесно связанным с этим, является центральная предельная теорема. Эта теорема имеет дело с суммой большого количества независимых случайных величин с одинако-нымп плотностями распределения вероятностей. В частности, пусть имеются случайные величины Xlt Х2, ..., Хп с одинаковыми математическими ожиданиями тх и дисперсиями ах. Определим нормированную сумму как
К - п~1/2 2 (Хк ~ тх). (2.28)
k—i
Теорема гласит, что при некоторых условиях, не слишком строгих н иыиолняющп хея почти для любых встречающихся на практике случайных исличпп, при п ->- оо независимо от вида плотностей распределении вероятностей случайных величин Хк, входящих » сумму, плотность вероятностей случайной величины Y приближается к гауссовской. Кроме того, вследствие нормирования ее математическое ожидание будет равно нулю, а дисперсии — а*. Теорема справедлива и для более общего случая, однако здесь не имеет смысла рассматривать этот вопрос. Важно осошать, что почти все явления случайного характера, встречающиеся на практике, представляют собой результат наложения множества отдельных событий. Такое замечание справедливо и отношении теплового движения электронов в проводнике, шкшикповення дробового шума в электронной лампе или тран-шеторе, атмосферных помех, возмущений среды, волн в океане и многих других физических источников случайных возмущений. Следовательно, независимо от вида плотности вероятностей отдельных составляющих (а очень часто они не известны) можно ожидать, что плотность распределения вероятностей наблюдаемого
возмущения будет нормальной. Центральная предельная теорема дает математическое обоснование для такого предположения, и эксперименты почти всегда подтверждают его правильность.
Упражнение 2.5.1. Математическое ожидание гауссовской случайной величины X равно 1, а дисперсия 16. Найдите вероятность того, что случайная величина X примет
а) отрицательное значение;
б) значение от 1 до 2;
в) значение больше 4.
Ответы-. 0,0987; 0,2266, 0,4013.
Упражнение 2.5.2. Для случайной величины X, параметры которой заданы в предыдущем упражнении, найдите:
а) 4-й центральный момент;
б) 4-й начальный момент;
в) 3-й центральный момент;
г) 3-й начальный момент.
Ответы. 0, 49, 768, 865.
2.6. Плотности распределения вероятностей, связанные с гауссовским распределением
В разд. 2.5 были перечислены некоторые из причин, обусловливающих особую важность гауссовского распределения случайной величины. Еще одна причина заключается в том, что множество других плотностей вероятностей, встречающихся на практике, имеют связь с гауссовской и могут быть получены с ее помощью. Некоторые из них и ситуации, где они наблюдаются, будут описаны в этом разделе. Не все они будут введены строгим образом, поскольку в большинстве случаев для этого потребовался бы иной уровень изложения материала, но в целях иллюстрации применяемого метода самые важные получат математическое обоснование.
Плотность распределения вероятностей мощности. Если приложенное к электрической цепи напряжение или текущий через нее ток носят случайный характер, то мощность, рассеиваемая на активном сопротивлении, представляет собой случайную величину, пропорциональную квадрату этого тока или напряжения. Преобразование, выполняемое в таком случае и описанное в разд. 2.3, используется здесь для определения плотности распределения вероятностей, связанной с мощностью случайного напряжения или тока, подчиняющихся нормальному закону. В частности, пусть I — случайная величина, соответствующая значениям тока I (tj), и пусть ее плотность вероятностей /7 (/) — гауссовская. Тогда мощность W (другая случайная величина) будет записываться как W = RI2 и нужно определить ее плот-
ность распределения вероятностей fw (w). По аналогии с (2.6) она может быть записана в виде:
U\!2(Rw)x!2){f^&IR)ll2)-Vfi(-(plR)X/2%™>0, !w{w)^ 10, w<0. (2'29)
Если величина / имеет нормальную плотность распределения вероятностей с нулевым математическим ожиданием, то
f, (t) (1/(2л)1/2ст/) ехр (— 12/'2сх/),
где о} — дисперсия случайной величины /. Следовательно, сг/ — эго значение стандартного отклонения тока. Далее, поскольку
