Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Р(Х>*) = 1-^(*).
Обратимся к частному случаю функции распределения вероятностей, график которой показан на рис. 2.3. Обратите внимание, что эта функция отвечает всем требованиям, перечисленным выше. Из рисунка следует справедливость нескольких утверждений из множества возможных:
Р (X < - 5) = 0,25, Р (X > - 5) = 1 - 0,25 = 0,75,
Р (X > 8) = 1 -0,9 = 0,1, Р(—5<Х< 8) = 0,9-0,25 = 0,65,
Р (X > 0) = 1 -Р(Х<0) = 1 -0,5 = 0,5.
В рассматриваемом примере интервал изменения аргумента функции распределения вероятностей ограничен конечными пределами. Однако так бывает не всегда. Обратимся, в частности, к функции распределения вида
M*) = V.[l+(2/«)arctg(*/5)], — оо<*<оо, (2.1)
график которой представлен на рис. 2.4. В этом случае снова можно сделать ряд утверждений о вероятности события, состоящего в том, что значения случайной величины X будут лежать
1-
-20
-10
0
10
20
X
Рис. 2.4. Функция распределения вероятностей случайной величины, изменяющейся на бесконечном интервале.
внутри заданных интервалов. Например, легко проверить справедливость следующих соотношений:
Упражнение 2.2.1. Случайной величиной X в опыте с бросанием шести Moiiei считают число выпавших при испытании решеток.
а) Нарисуйте график функции распределения вероятностей для этой случайной величины.
Какова вероятность того, что случайная величина X примет значение:
б) меньше 3,5?
в) больше 2,5?
г) в интервале от 1,5 до 5?
Отпеты. 0,6563; 0,875; 0,6563.
Упражнение 2.2.2. Функция распределения вероятностей случайной величины имеет следующий вид:
Найдите вероятность того, что
а) X > 0,5, б) X < 0,25, в) 0,3 < X < 0,7.
Ответы: 0,2212; 0,6065; 0,2442.
2.3. Плотность распределения вероятностей
Хотя функция распределения и дает исчерпывающее описание вероятностной модели одной случайной величины, ее форма не всегда удобна для выполнения необходимых расчетов. Иногда предпочтительнее использовать не саму функцию Fx (х), а ее производную. Она называется плотностью распределения вероят-
Р (X < —5) = 0,25, Р (X > - 5) = 1 - 0,25 = 0,75, Р (X > 8) = 1 -0,8222 = 0,1778,
Р (— 5 < X < 8) = 0,8222 - 0,25 = 0,5722,
Р(Х>0) = 1 -Р(Х<0) = 0,5.
ностей (плотностью вероятностей) и в случае существования определяется как 2)
1х (*) = lim W+W-W
Лх-уО !ХХ йх
Физический смысл плотности распределения вероятностей лучше раскрыть через элемент вероятности fx (х) dx. Его можно записать в виде
fx(x)dx = Р(х<Х-^.x-j-dx). (2.2)
Это соотношение утверждает, что элемент вероятности fx (х) dx есть вероятность того, что случайная величина X лежит в диапазоне возможных значений между х и х + dx.
Поскольку fx (.х) — это плотность распределения вероятностей, а не сама вероятность, она не должна обязательно быть меньше 1 и может принимать любые неотрицательные значения 3). Основные ее свойства записываются следующим образом:
1) /х(*)> 0, — 00<%<00,
2) \fx(x)dx: = 1*,
—СО
X
3) Fx(x) = } fx(u)du,
—СО
Xt
4) J fx (x) dx = P (*! < X < x2).
На рис. 2.5 показаны примеры графиков плотности распределения вероятностей, соответствующие функциям распределения, проиллюстрированным на рис. 2.2. Обратите особое внимание на то, что плотность распределения вероятностей для дискретной случайной величины представляет собой совокупность дельтафункций, площадь каждой из которых равняется соответствующему скачкообразному приращению функции распределения вероятностей. Могут встречаться также плотности распределения
2) Здесь вновь индекс X соответствует случайной величине X и, если это не вызывает неясностей, его можно опустить. В связи с этим fx (х) часто будет записываться как f (х). 1
3) Поскольку Fx (*) не уменьшается при увеличении х.
* Данное свойство означает, что площадь, ограниченная осью абсцисс и кривой fx (х), равна 1. Оно имеет очень важное значение в теории вероятностей и называется условием нормировки плотности распределения вероятностей. — Прим. ред.
вероятностей, где непрерывные участки сочетаются с одной или большим числом дельта-функций.
Существует много различных математических выражений, с помощью которых можно описывать плотности распределения вероятностей, однако лишь часть из них имеет определенную практическую ценность при анализе технических систем. Некоторые из этих выражений рассмотрены в дальнейших разделах, а в приложении Б приведена таблица, содержащая много примеров плотности распределения вероятностей.
ш
0,2
«t4
0,4
Ь с
Рис. 2.5. Плотности распределения вероятностей для функций распределений,
показанных на рис. 2.2.
Однако, прежде чем переходить к изучению наиболее важных из них, обратимся к плотностям распределения вероятностей, соответствующим описанным в разд. 2.2 функциям распределения. Из рис. 2.3 следует, что плотность распределения вероятностей случайной величины X при х ^ —10 и х > 10 должна равняться нулю. Кроме того, в интервале от —10 до +10 она должна иметь постоянное значение, поскольку на этом участке угол наклона графика функции распределения не изменяется. Таким образом,
