Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
со со
R = j rfR (r) dr =¦ j (r2/o2) exp (— r2/2cr2) dr = (я/2)1/2сх,
о 0
а средний квадрат имеет вид
со со
R12 = j r2fR (г) dr — | (r3/a2) ехр (—г'г/2о2) dr = 2ог2.
о о
При этом дисперсия случайной величины R равна
а% - ~R2 - (Я)2 - (2 - я/2) а2 ^ 0,429а2.
Обратите внимание, что полученное значение дисперсии отличается от дисперсии от2 гауссовских случайных величин, из которых получена рассматриваемая рэлеевская величина. В отличие от гауссовских случайных величин, для случайной величины, распределенной по закону Рэлея, и математическое ожидание и дисперсия зависят от одного и того же параметра or2, в результате чего они не могут изменяться независимо друг от друга.
Функция распределения вероятностей для рэлеевской величины находится непосредственно из соответствующей плотности вероятностей, которая легко интегрируется. Таким образом,
FB (г) =
( Г
J (и/а2) ехр (—и2/2,а2) du = 1 — ехр (—гг/2а2), г^> О,
= о
О, г < 0.
(2.32)
Чтобы проиллюстрировать использование распределения Рэлея, рассмотрим стрельбу из лука по мишени диаметром 60,8 см, с центром которой совпадает начало прямоугольной системы координат. Расстояния от него до точек попадания стрел — это случайные величины, имеющие X и Y ортогональные составляющие. Пусть средние квадратические отклонения разброса по абсциссе и ординате одинаковы и равны 7,6 см, т. е., ах = aY = = 7,6 см. Если принять, что случайные величины распределены по нормальному закону, то расстояние от точки попадания стрелы до центра мишени (отклонение разброса) будет случайной величиной с распределением Рэлея, плотность вероятности для которой записывается в виде
/я (г) = (7,6)~2 г ехр [—г2/2• 7,62], г > 0.
Используя полученные выше результаты найдем, что математическое ожидание разброса есть R = (я/2)1/2 7,6 « 9,5 см, а стандартное отклонение ад = (0,429-7,6)1/2 5 см. При помощи
функции распределения вероятностей найдем вероятность непопадания в мишень:
Р (непопадание в мишень) — 1 - FR (30,4) =
^ 1 - [1 - ехр (—30,42/2-7,62)] = е“8 = 3,35-10~4.
Аналогично, приняв диаметр яблочка мишени равным 5,08 см, найдем, что вероятность попадания в него будет
Р (попадание в яблочко) = FR (2,54) =
= 1 - ехр [2,542/2 - 7,62] = 0,0540.
Очевидно, лучник из этого примера не слишком опытен, хотя почти все его стрелы и попадают в мишень!
Упражнение 2.6.2. Стрелок-любитель стреляет из пистолета в мишень диаметром 20 см. Известно, что вероятность непопадания в мишень при одном вы-( фоле составляет 0,01. Определите математическое ожидание для разброса (относительно центра мишени) по всей серии выстрелов.
Ответ: 4,2 см.
Распределение Максвелла. Одна из задач термодинамики состоит и определении плотности распределения вероятностей скоростей молекул идеального газа. Исходное предположение для нее заключается в том, что каждая составляющая скорости подчиняется нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о2 kT/m, где k — постоянная Больцмана, Т вбсолкппан температура, a m—масса молекулы. Полная скорость рампа
Можно показать, что соответствующая плотность распределения иероятностей будет иметь вид
( (2/я)1/2 (v2/a3) ехр (—и2/2о2), v ^ 0,
Ы»)-(о, „со. (2'33>
:-)то распределение называют максвелловским.
Математическое ожидание случайной величины с максвелловским распределение^ (средняя скорость молекулы) находится как обычно и равно V = (8/я)1/2 а. Можно показать, что средний квадрат и дисперсия для этого случая будут равны
I/ = За2, ol = V2 - (Vf = (3 - 8/я) а2 = 0,453а2.
Зная V2, найдем среднюю кинетическую энергию, поскольку е = mVz/2, а, следовательно, Е \е] — mV2/2 = (3/2)та2 = = (3/2)m(kT/m)= 3kT/2, что является классическим результатом.
Максвелловское распределение не может быть выражено простым способом через элементарные функции или даже через табулированные функции. Поэтому обычно приходится прибегать к численному интегрированию. Пусть, к примеру, необходимо определить вероятность того, что кинетическая энергия какой-нибудь молекулы превысит более чем в два раза среднее значение энергии, вычисленное по всей совокупности молекул. Поскольку кинетическая энергия равна е = mV2/2, а среднее значение ее есть (3/2) та2, скорость молекулы, энергия которой вдвое и более превышает среднюю, запишется как V > 61/2ог. Вероятность того, что скорость молекулы будет находиться в этом интервале, равна
Р [V > б'^сх) = J (2/я),/2 (y2/ff3) exp (— v2/2a2) dv.
6,/2c
В результате численного интегрирования получим
Упражнение 2.6.3. Известно, что в некотором газе при температуре 300 К число молекул, обладающих скоростями около 1-103 м/с, вдвое превышает число молекул, скорости которых примерно равны 5 ¦ 103 м/с. Определите
