Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
где erfc (х) — обратная функция ошибок. Однако другие авторы определяют функцию ошибок как
X
erf (х) = (2/я1/2) = j ехр (— и2) du -- 2Ф()7 2х) — 1. (Ь.24)
о
Такое различие в способах записи подчеркивает необходимость внимательного изучения определений, встречающихся в литературе.
Несмотря на то что функции Ф (х) и Q (х) подробно табулированы, лучше использовать Q (х), если таблицы нет под рукой
или в нее не включены нужные значения .г. Это связано с тем, что существует относительно несложный и достаточно точный метод расчета ее значений при помощи обычного микрокалькулятора.
Процедура такого расчета начинается с представления Q (х) в виде
Q(x) = exP(^~if2/2; G(x), (2.25)
где G (х) — бесконечная дробь, определяемая как °W°4-i ‘ —
Х+1 + з (2-26)
д: + 4
*"+тт:.
Следующий шаг заключается в определении числа членов, которые необходимо использовать для оценки G (х). При большем их количестве точность расчета повышается, но, конечно, увеличи-иается и его трудоемкость. Правило выбора количества членов будет вскоре сформулировано, а пока примем, что мы уже определили, каким числом членов п нам следует ограничиться. Затем найдем значения величин из следующей последовательности:
рп = * + «/*>
Рп-1 -= х-\- {п- 1 )//>„,
Pi = X -f- 1 /pt,
G(x) = 1 /рх.
Последняя величина и будет искомым значением G (х).
Число членов, необходимых в разложении G (х) для достижения требуемой точности, зависит от величины х, для которой выполняется расчет: чем меньше х, тем больше должно быть п.
()бщее правило гласит: для получения шести значащих цифр it результирующем значении G (х) произведение хп должно быть не менее 30.
Q-функция используется при нахождении вероятностей очень редко встречающихся событий. Рассмотрим пример, который позволит не только продемонстрировать ее применение, но также пояснит способ вычисления. Предположим, что построенный на интегральной микросхеме триггер переходит от состояния, соответствующего «0», к состоянию «1» каждый раз, когда напряжение на его иходс превышает 2,5 В. Пусть нулевому состоянию входного сигнала соответствует напряжение 0,5 В, но к нему добавляется случайный гауссовский шум, дисперсия которого равна 0,2 В2. Таким образом, входной сигнал триггера может быть представлен в виде гауссовской случайной величины с математиче-
ским ожиданием 0,5 В и дисперсией 0,2 В2. Необходимо определить вероятность того, что из-за превышения входным сигналом уровня 2,5 В произойдет ложное срабатывание триггера. Как следует из определения Q-функции, искомая вероятность равна Q [(2,5 — 0,5)/(0,2)1^2] = Q (4,472). Хотя в приложении Д приведено значение функции для этого аргумента, для примера рассчитаем его, используя описанный метод. Вспоминая правило, определим, что п = 7. Поэтому
р7 = 4,472 + 7/4,472 = 6,037,
рв = 4,472 + 6/6,037 = 5,466,
рь = 4,472 + 5/5,466 = 5,387,
Pi. = 4,472 + 1/4,868 = 4,677,
G (4,472) = 0,2138,
Q (4,472) = е-р-Ь4;^Р—-0,2138 = 3,872- Ю"".
v ' (2я) 7
Обратите внимание, что вероятность ложного срабатывания триггера в любой операции достаточно мала. Однако для всего периода времени работы триггера эта вероятность может быть значительной. Вероятность отсутствия ложных срабатываний равна единице за вычетом вероятности того, что такое срабатывание будет иметь место. Таким образом, при п операциях вероятность ложного срабатывания будет записываться как
Р (ложное срабатывание) = 1 — (1 — 3,872 • Ю-6)".
При п = 105 Р (ложное срабатывание) = 0,321. Рассмотренный пример дает возможность сделать заключение о том, что наличие в цифровой схеме заметного шума рано или поздно приведет к появлению ошибок при ее функционировании.
Хотя многие из наиболее полезных свойств гауссовских случайных величин станут видны только при совместном рассмотрении двух или большего числа таких величин, здесь можно отметить простоту, с которой определяются для них моменты высрких порядков. Центральный момент «-го порядка, вычисленный по выражению (2.11), для гауссовской случайной величины будет равен
-----=г- ( 0, для нечетных п,
(Х-Х)п = \ _ . п „ (2.27)
' { 1 -3-5 ... (га — 1)а , для четных п.
Например, из (2.27) для 4-го центрального момента получим
(X — X)4 = За4. Однако необходимо сделать предостережение.
Начальный момент Хп и центральный момент (X — Х)п не всегда
связаны так просто, как для п = 2. В частности, для нормального распределения при п = 4
