Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
и поскольку каждому значению у соответствуют два значения х (х — ±уу2), искомая плотность распределения вероятностей будет записываться как
fr(y) = (V2yl/2)[fx(ym) + fx(~yi/2)}, у> 0. (2.6)
Кроме того, поскольку у не может принимать отрицательных значений
h (У) = 0, у < 0.
Ниже будут рассмотрены некоторые другие приложения преобразований случайных величин.
Упражнение 2.3.1. Плотность распределения вероятностен случайной величины X имеет внд
fx (х) = Ки (х) е~2х,
где и (х) — единичная функция. Определите
а) чему равно К;
б) вероятность того, что X > 1;
в) вероятность того, что X ^ 0,5.
Ответы'. 0,1353; 0,6321; 2,0.
Упражнение 2.3.2. Случайные величины К и X (плотность распределения вероятностей X определена в предыдущем упражнении) связаны следующим образом: У = 6Х + 3. Найдите плотность вероятностей случайной величины К.
Ответ: 1/3 ехр [—(у-- 3)/6].
2.4. Средние значения и моменты случайных величин
Одной из самых важных и фундаментальных концепций, свя-
занных со статистическими методами, является способ нахождения средних значений случайных величин или их функций. Инженеры-электрики умеют определять средние значения функций времени, интегрируя их на некотором интервале времени, а затем деля полученную величину на продолжительность этого интервала: указанная операция используется для нахождения постоянной составляющей, среднего квадратического отклонения или средней мощности таких функций и называется усреднением по времени. Средние по времени значения важны при рассмотрении случайных функций времени, но, разумеется, говорить о среднем одиночного значения случайной величины не имеет смысла, поскольку оно определяется как мгновенное значение. Для определения среднего значения случайной величины нужно интегрирование по времени заменить интегрированием по диапазону возможных значений, которые она может принимать. Такая операция называется усреднением по ансамблю.
Применяется несколько способов записи операции нахождения среднего значения, но в технической литературе чаще используют запись следующего вида: Б)
со
Х = ?[Х] = J xf(x)dx. (2-7)
—со
Величина Е [X] называется математическим ожиданием X. Как будет показано ниже, во многих практических случаях математическое ожидание случайной величины равно среднему по времени значению любой из выборочных функций, относящихся к случайному процессу, к которому принадлежит рассматриваемая случайная величина. В таких ситуациях нахождение математического ожидания изменяющихся случайным образом напряжения или тока эквивалентно определению их постоянных составляющих.
С помощью выражения (2.7) может быть найдено математическое ожидание любой функции от х. Итак,
+ 00
?[&(*)] = J g(x)f(x)dx. (2.8)
—со
Функции вида g (х) =* хп имеют особое значение, поскольку входят в общее выражение для начальных моментов случайной величины:
___ +00
Хп = Е [Xя] = j xnf(x)dx. (2.9)
—со
Самыми важными из моментов Е [Хп] случайной величины X являются начальный момент 1-го порядка (при п = 1), равный
математическому ожиданию (2.7), и момент 2-го порядка (при
п = 2), посредством которого находится средний квадрат случайной величины,
+ 00
Т2 = Е [X2] = J л*/ (х) dx. (2.10)
—со
Важность среднего квадрата обусловлена тем, что он часто интерпретируется как усредненный по времени квадрат случайного напряжения или тока. При этом он оказывается пропорциональным средней мощности (выделяющейся на активном сопротивлении), а корень квадратный из этой величины представляет собой эффективное значение случайного напряжения или тока.
6) Обратите внимание, что индекс X здесь опущен, поскольку абсолютно ясно, к какой случайной величине относится эта функция.
Кроме того, можно ввести понятие центральных моментов, представляющих собой моменты разности случайной величины X и ее математического ожидания X. Так, центральный момент п-то порядка имеет вид
__________ +°°
(X-X)" = Е [(X - Х)п] -= J(x- X)nf{t)dx. (2.11)
— СО
Первый центральный момент (для п = 1) равен, естественно, нулю, а вот второй центральный момент (для п = 2) так важен, что даже получил особое название дисперсии и обозначение а2х. Таким образом,
_________ +°°
o*x = (X- X)2 = j (х - X)2f{x)dx. (2.12).
—со
Дисперсию можно определить и по-другому, если воспользоваться правилом для нахождения математического ожидания суммы случайных величин:
