Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
1. Такое распределение служит хорошей математической моделью для ряда наблюдаемых случайных явлений. Более того, сам факт, что модель является гауссовской, можно строго доказать для многих ситуаций.
2. Нормальное (гауссовское) распределение принадлежит к числу немногих, позволяющих описывать ситуации с произвольным числом случайных величин.
3. Любые линейные комбинации гауссовских случайных величин также являются гауссовскими. Аналогичные утверждения в отношении большинства негауссовских величин будут неверны.
4. Гауссовский случайный процесс может быть полностью описан (в статистическом смысле) при помощи только первого и второго моментов. Для других процессов это утверждение несправедливо.
5. Исчерпывающий статистический анализ в ходе системного анализа как для линейных, так и для нелинейных преобразований случайных процессов нередко удается выполнить, только если эти процессы гауссовские.
Нормальная (гауссовская) плотность вероятностей имеет вид
f(x) = (1/(2п)1/2а)ехр [- (х - Х)2/2а2], — оо<*<оо, (2.14)
где X — математическое ожидание, а2 — дисперсия. Соответствующая ей функция распределения вероятностей к простым математическим зависимостям не сводится. Графики плотности и функции распределения вероятностей гауссовской случайной величины показаны на рис. 2.11, а и б соответственно. Следует отметить ряд их особенностей.
1. Плотность распределения вероятностей гауссовской случайной величины имеет только один максимум, который соответствует математическому ожиданию.
2. График этой функции симметричен относительно математического ожидания.
3. Ширина нормальной плотности вероятностей прямо пропорциональна среднему квадратическому (стандартному) отклонению а. На уровне 0,607 от максимального значения функции fx (х) она равна 2ох. В этих точках абсолютная величина производной dfx (x)/dx достигает своего максимального значения.
4. Максимальное значение нормальной плотности распределения вероятностей обратно пропорционально стандартному от-
клонению о. Поскольку площадь под кривой (2.14) равна единице, ее можно использовать для определения единичного импульса (или дельта-функции), устремив сг 0, т. е.
б(*-Х) = lim (1/(2л)1/2а) ехр {— (х — Х)2/2а2}. (2.15)
О
11реимущество такого введения дельта-функции перед некоторыми другими состоит в том, что она в этом случае оказывается бесконечно дифференцируемой.
Функция распределения вероятностей для гауссовской случайной величины, как отмечалось выше, не может быть записана в виде компактного математического выражения с использова-
ние. 2.11. П/ютносгь вероятностей (а) и функция распределения (б) гауссовской случайной величины.
мнем элементарных функций. Ее можно, однако, выразить через широко известные табулированные функции. С учетом связи между функцией распределения и плотностью распределения пером шостей можно записать следующее общее выражение для функции распределения вероятностей гауссовской случайной величины:
X X
F (*) = { / (и) du = (2л)~1/2о~1 | ехр [{и — X)2j2o2\ du. (2.16)
-со —со
Обычно табулируют функцию нормированного гауссовского распределения вероятностей, характеризуемого математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице (т. е. X = О,
о = 1). Ее обозначают через Ф (х) и определяют следующим образом:
Ф (х) -= (2n)~l/2 j ехр (—u2/2)du.
— СО
Посредством простой замены переменных легко показать, что общее выражение (2.16) для нормальной функции распределения вероятностей с использованием (2.17) может быть записано в виде
F(x) = Ф((х-Х)/о). (2.18)
Сокращенная таблица значений Ф (х) дана в приложении Г. Поскольку в таблицах обычно приводят значения функции для неотрицательных х, нередко возникает необходимость в использовании дополнительного соотношения
Ф (—х) = 1 — Ф (х). (2.19)
Еще одной функцией, тесно связанной с Ф (х) и в ряде случаев более удобной, является Q-функция, определяемая как
с»
Q (х) = (2я)-1/2 J ехр (— и2j2) du, (2.20)
*
и для нее
Q (_*) = 1 — Q (х). (2.21)
Из сравнения (2.20) с (2.17) ясно, что Q (х) ~ 1 —Ф (х). Сравнивая полученный результат с (2.18), найдем
F (х) = 1 — Q ((х — Х)/о).
В приложении Д приведена краткая таблица значений Q (х)
для малых х.
В литературе можно встретить различные обозначения для функций Ф (х) и Q (х). Некоторые авторы используют запись
erf (х) = Ф (х), (2.22)
где erf (х) — функция ошибок, и
erfc (х) = Q (х), (2.23)
