Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
характер, о котором здесь говорится, наблюдается по всему ансамблю при переходе от одной выборочной функции к другой. Кроме того, аналогичный случайный характер может наблюдаться и при переходе от одного момента времени к другому. В связи с этим вероятностное описание случайных величин одновременно может служить вероятностным описанием случайного процесса. Однако наше начальное рассмотрение будет ограничено рамками случайных величин, а затем распространено на случайные процессы.
С точки зрения инженерного подхода случайная величина — это просто числовое описание исхода случайного опыта. Вспомним, что пространство выборок S = {а} представляет собой множество всех возможных исходов эксперимента. При исходе а случайная величина X принимает значение, которое можно обозначить X (а). При таком подходе случайная величина — просто действительная функция, определенная на пространстве выборок, и на практике фундаментальное определение случайной величины является таким же простым, как и определение функции (с учетом некоторых ограничений, необходимых для математической последовательности). Однако для технических приложений обычно нет необходимости рассматривать в явном виде пространство выборок. Как правило, нужно уметь приписывать вероятности различным событиям, связанным с рассматриваемыми случайными величинами, причем часто эта оценка может проводиться исходя непосредственно из сведений о конкретной практической ситуации. Последняя тема, которая будет затронута в данной главе, связана с вопросом о том, какие события должны рассматриваться для получения исчерпывающего описания случайной величины и каким образом могут быть найдены соответствующие им вероятности.
Если случайная величина способна принимать любые значения внутри заданного диапазона (возможно бесконечного), то ее называют непрерывной. Ниже все случайные величины будут считаться непрерывными, если не будет оговорено иное. Как будет показано, к дискретным случайным величинам Ст. е. принимающим значения из конечного набора) могут применяться те же способы, что и к непрерывным.
2.2. Функция распределения вероятностей
Чтобы рассмотрение непрерывных случайных величин оставалось в рамках теории вероятностей, обсужденных в гл. 1, необходимо определить события, связанные с вероятностным пространством. Существуют много способов определения таких событий, но метод, описываемый ниже, является практически общепринятым. В основе его лежит использование так называемой функции распределения вероятностей.
Пусть X — случайная величина в том смысле, как она определена выше, ах — любое ее допустимое значение. Функцию распределения вероятностей определяют как вероятность события, заключающегося в том, что наблюдаемая случайная величина меньше или равна допустимому ее значению х, т. е.
Fx(x) = P(X<x)u.
Иногда ее называют функцией распределения.
Поскольку эта функция представляет собой вероятность, она должна удовлетворять основным аксиомам теории вероятностей и обладать свойствами, присущими вероятностям и указанными
а 5 в
Рис. 2.2. Примеры функций распределения вероятностей.
в гл. 1. Однако эта функция зависит от возможных значений х случайной величины X, и поэтому должна в общем виде определяться для всех значений л:. Таким образом, требование, чтобы функция распределения вероятностей Fx (х) представляла собой вероятность, накладывает на ее свойства определенные ограничения. Они могут быть в итоге записаны следующим образом:
1) 0 С •> - оо<х<оо,
2) Fx(— оо) — О, Fx(оо)-=1,
3) Fx (х) не уменьшается при возрастании х,
4) Р {х1 < X < х2) = Fx (х2) — Fx to).
Примеры функций распределения вероятностей представлены на рис. 2.2. На рис. 2.2, а показан график функции распределения
вероятностей для непрерывной случайной величины, изменяю-
щийся от —оо до +оо, а на рис. 2.2, б — с областью изменения от а до Ь. На рис. 2.2, в изображен график функции распределения вероятностей для дискретной случайной величины, которая
г) Индекс X служит для обозначения случайной величины, а аргумент х может быть заменен любым другим символом. В ходе дальнейшего рассмотрения индекс X часто будет опускаться, если это не будет приводить к потере однозначности записи. Таким образом, Fx (х) в ряде случаев будет записываться как
F (*).
может принимать только четыре возможных значения (0, а, Ь, с). При рассмотрении функций распределения вероятностей такого типа важно помнить, что в определение Fx (х) включены условия X — х и X < х. Поэтому на рис. 2.2, в Рх (а) будет равно 0,4, а не 0,2.
Функция распределения вероятностей может также использоваться для нахождения вероятности события, заключающегося в том, что наблюдаемая величина X принимает значение, большее
Рис. 2.3. Особый случай функции распределения вероятностей.
(но не равное) х. Поскольку такое событие противоположно событию с вероятностью Fx (я) ясно, что
