Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Рис, 2.13. Мломничь т'ричтнос'К'й мощности тока, распределенного по нормальному закону.
функция f, (i) — симметричная, то f, (i) = fj (—i). Таким обратом, оба члена в (2.29) идентичны, и выражение для плотности вероятностей мощности принимает вид
\(\/aiC.’nRw)'/')vxp(~ w/2Ro2,), w > О,
/|р( ] 10. w < 0. ( }
График функции fw (w) показан на рис. 2.12. Отсюда прямо находим, что математическое ожидание мощности есть
W - Е [RI2] = Rah
и ее дисперсия
a2w = W2 - (W)2 = Е [Я2/4] - (Wf =¦
- 3RV, - (Ro])2 - 2R2o).
('tout отметить, что при w = 0 плотность распределения вероятностей мощности бесконечна, а это значит, что наиболее вероятное значение мощности равно нулю. Это обусловлено тем, что наиболее вероятное значение тока также равно нулю и производная dW/dl в рассматриваемой точке равна нулю. Однако
важно отметить, что плотность вероятностей мощности не содержит дельта-функцию.
Функцию распределения вероятностей мощности можно было бы определить интегрированием соответствующей плотности распределения вероятностей. Однако эта операция не дала бы искомую функцию в виде краткого математического выражения. С другой стороны, функция распределения вероятностей без труда может быть найдена исходя из основного определения. А именно, вероятность того, что мощность не превысит некоторого значения, есть вероятность того, что ток будет находится в пределах от
— (w/R)112 до +(w/R)и’2. Таким образом, для тока с нормальным законом распределения, нулевым математическим ожиданием и дисперсией функция распределения вероятностей мощности имеет вид
Р [i < (w/R)1’2] - Р [t < - (w/R)l/2] = Ф (0w/R)U2/o/) -Fw (w) = • - ФС-НЯ)172/^) = 2Ф ((w/R)1/2/o,)~ 1, w >0,
0, w <0.
В качестве примера рассмотрим случайный сигнал, который подается на громкоговоритель обычной стереосистемы. Предположим, что сопротивление громкоговорителя равно 4 Ом, а максимально допустимое паспортное значение мощности 25 Вт. Пусть ток, текущий через обмотку звуковой катушки этого громкоговорителя, имеет нормальное распределение и обеспечивает среднюю мощность на громкоговорителе 4 Вт. Какова вероятность превышения паспортного значения мощности? Поскольку мощность 4 Вт на сопротивлении 4 Ом приводит к дисперсии тока ст/ = 1,
Р (W > 25) = 1 — Fw (25) = 2 [1 — Ф ((25/4)1/2/1)1 =
= 2 (1 — 0,9798) = 0,0404.
Это значение вероятности соответствует нескольким превышениям за одну секунду допустимого уровня мощности громкоговорителя. Реальная ситуация даже несколько хуже, поскольку плотность вероятностей музыкального сигнала не подчиняется нормальному закону и он достигает своих пиковых значений чаще, чем при нормальном распределении.
Упражнение 2.6.1. К резистору с сопротивлением 4 Ом приложено напряжение случайного характера, плотность распределения вероятностей которого соответствует нормальному закону с нулевым математическим ожиданием н стандартным отклонением, равным 10 В. Определите вероятность того, что мощность, рассеиваемая в резисторе,
а) лежит в диапазоне от 9,9 до 10,1 Вт (используйте при расчете функцию распределения вероятностей мощности);
б) превысит 25 Вт;
в) не превысит 10 Вт.
Ответы: 0,00616, 0,3174, 0,472.
Распределение Рэлея. Это распределение встречается в нескольких практических ситуациях. В частности, ниже будет показано, что плотности вероятностей амплитудных значений (т. е. огибающих) узкополосных случайных напряжения или тока, распределенных по нормальному закону, подчиняются рэлеев-скому закону. Первоначально эту плотность вероятностей ввел лорд Рэлей в 1880 г. при рассмотрении огибающей суммы ряда гармонических колебаний разной частоты. Она также встречается
Рис. 2.1.4. Рэлсевскаи плотность распределения вероятностей.
при пристрелке пушек, ракет и другого огнестрельного и метательного оружия, если разбросы (отклонения от цели) в каждом ИЯ Двух млшмио перпендикулярных направлений независимы и распределены по нормальному закону. Таким образом, если начало ирямоуюлыюй системы координат считать целью, а разброс по осям обозначить через X и Y, то промах будет выглядеть как К — У^)1^. Исли X я Y — независимые гауссовские слу-
чайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями а2, то плотность вероятностей для R будет записываться в виде
Г (г/а2) ехр (— г2/2ст2) г> 0,
Мг> = (о, г<0. (2'31)
Это и есть рэлеевская плотность распределения вероятностей, график которой для различных значений дисперсии о2 показан на рис. 2.13. Обратите внимание на то, что максимум этой функции соответствует стандартному отклонению, и что она несимметрична относительно этого значения.
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Рэлея, легко определяется и равно
