Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
f 0, х<—10,
fx(x) - 0,5, — 10<х< 10,
[О, х>10.
График этой функции показан на рис. 2.6.
Плотность вероятностей для функции распределения, график которой показан на рис. 2.4, находится дифференцированием выражения (2.1). Таким образом,
fx (х) = dFx (x)/dx = d[ 1/2 -}- (1/я) arctg (xj5)]jdx =
= 5/л (x2 -f- 25), —oo (2.3)
График этой функции приведен на рис. 2.7.
При исследовании технических систем часто встречаются ситуации, когда одна случайная величина является функцией другой, с известной плотностью распределения вероятностей, причем необходимо определить плотность вероятностей первой.
Пусть, например, интерес представляет плотность вероятностей мощности, если известны плотности вероятностей других связанных с ней случайных величин — напряжения или тока. Или, скажем, нужно определить плотность распределения вероятностей случайного напряжения или тока после выполнения над ними
Рис. 2.6. Плотность вероятностей, соответствующая функции распределения,
показанной на рис. 2.3.
какого-либо нелинейного преобразования. Хотя нет необходимости проводить здесь исчерпывающее исследование затронутой проблемы, несколько основных положений, используемых в ходе дальнейшего обсуждения, будут изложены.
Для проведения в последующем формальных математических преобразований предположим, что случайная величина Y — одно-
Рис. 2.7. Плотность вероятностей, соответствующая функции распределения,
показанной на рис. 2.4.
значная действительная функция другой случайной величины X, т. е.4) Y = g (X). При этом плотность распределения вероятностей fx (х) считается известной, и нужно определить плотность вероятностей fy (у) случайной величины Y. На рис. 2.8, а показан график функции g (X) для частного случая ее монотонного воз-
4) Отсюда также понятно, что возможные значения X и Y связаны соотношением у = g (х).
растания. Из него следует, что если случайная величина X принимает значения в интервале от х до х + dx, то случайная величина Y — от у до у + dy. Поскольку вероятности этих событий есть соответственно fx (х) dx и /у (у) dy, можно сразу записать соотношение/у (у) dy = fx (х) dx, из которого получим выражение для искомой плотности вероятностей:
/у (У) = fx (х) dx/dy. (2.4)
Естественно, в правой части (2.4) аргумент х должен быть выражен через обратную функцию от у.
а 6
Рис. 2.8. Преобразование случайных величин.
Для монотонно убывающей функции Y = g (X) (рис. 2.8,6) результат оказывается аналогичным и различие будет только в знаке производной. Рассматривая график на рис. 2.8, б и учитывая неотрицательность плотности вероятностей, легко понять, какие изменения требуется ввести в (2.4): в нем должно фигурировать значение производной, взятое по абсолютной величине. Поэтому в общем случае
fr(y) = fx(x)\dx/dy\. (2.5)
Чтобы проиллюстрировать различные преобразования случайных величин, обратимся сперва к наиболее простой задаче линейного преобразования случайных величин. Пусть известна плотность вероятностей случайной величины X. Рассмотрим другую случайную величину Y, связанную с первой линейным соотношением Y = АХ. С такой ситуацией можно столкнуться, в частности, если X и Y являются сигналами на входе и выходе неискажающего линейного усилителя. Поскольку возможные значения X и Y связаны линейно, dy/dx — А и из (2.5) следует, что искомая плотность распределения вероятностей случайной величины Y
fy (у) = (1/| A \)fx(y/A).
Таким образом, определение плотности вероятностей любой случайной величины, представляющей собой «масштабированную копию» другой случайной величины с известной плотностью распределения вероятностей, является достаточно простой задачей.
Рассмотрим теперь следующий частный пример преобразования случайных величин. Пусть плотность распределения вероятностей случайной величины X имеет вид
fx(x)
хи (х),
где и (х) разом:
единичная функция, определяемая следующим об-и (х)
1, *>-0, 0, *-<0.
Рис. 2.9. Возведение в квадрат случайной величины.
Пусть случайная величина Y связана с X соотношением Y = X3. Поскольку у и х связаны таким же образом, понятно, что
dyjdx - Зх2, dx/dy = 1/3.г2 = 1/3у2/3.
В соответствии с этим искомая плотность распределения вероятностей случайной величины Y равна
/у (У) = V*У~Ч,и (У) ехр { — уиз].
Случайная величина Y может быть такой, что производная функции g (X) может менять знак. В таких случаях рассмотрение участков с разным знаком производной можно проводить по отдельности, а затем объединять найденные плотности распределения вероятностей. Приведем для иллюстрации преобразования такого типа следующий пример.
Пусть две случайные величины связаны соотношением Y = = X2. График такой функции показан на рис. 2.9 и может изображать преобразование случайного напряжения в случайную мощность (без учета масштаба). Поскольку абсолютное значение производной dx/dy может быть записано в виде \ dx/dy \ = 1/2у1/2
